共軛曲線(數學中的共軛曲線)

共軛曲線(數學中的共軛曲線)

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如果在兩條曲線之間可以建立一個點對應,使得在對應點這兩條曲線有公共的主法線,則稱這兩條曲線為共軛曲線。

基本介紹

  • 中文名:共軛曲線
  • 外文名:conjugate curve
  • 套用學科:數學術語
  • 範疇:數理科學
  • 定義:在對應點兩條曲線有公共的主法線
  • 涉及:Bertrand曲線
概念,設計共軛曲線機構的圖解法,包絡法,法線法,

概念

如果在兩條曲線之間可以建立一個點對應,使得在對應點這兩條曲線有公共的主法線,則稱這兩條曲線為共軛曲線。如果一條曲線有不與自身重合的共軛曲線,則稱其為Bertrand曲線。互為共軛的曲線
之間距離為常數,且在對應點間的切線成定角。

設計共軛曲線機構的圖解法

包絡法

已知實現給定運動規律的瞬心線
及共軛曲線中的一條曲線
,求
。這相當於由
的逆過程。
圖1圖1
相對
滾動(圖1),其角速度分別為
,套用反轉法,給整個機構繞
的反轉角速度
,則
固定,
沿
滾動,如圖1表示
連同
滾到
等位置。此時:
,與
固結的
構想
沿
滾動至無數點接觸,相應地有無數條曲線
,這些
曲線的包絡線即為曲線
。由此可知,已知
和共軛曲線
中的一條,可利用包絡原理求出與其共軛的另一條,故共軛曲線機構常稱為包絡線機構。注意圖1中法線
過點
過點
常值。

法線法

設給定瞬心線
的中心距
、傳動比
及共軛曲線中的一條曲線
,求作嚙合線及
圖2圖2
如圖2,建立三個坐標系:定坐標系
,分別與
一起轉動的動坐標系
三個坐標的始位相互平行。起始時
上點
進入嚙合,法線
過點
。設
轉過角
,由
可知
轉過
,此時
轉到圖示的
的法線
亦過點
,故點
進入嚙合。
為嚙合點畫在
上的軌跡,稱為嚙合線;
等嚙合點畫在動坐標系
上的軌跡即為所求曲線
,圖示
為始位。注意
等嚙合點畫在
上的軌跡就是曲線

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