西格爾模形式

在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函式，模形式是其特例。

基本介紹

• 中文名：西格爾模形式
• 外文名：Siegel modular forms 
• 定義：辛群上的自守形式
• 特例：模形式
• 學科：數學
• 領域：數學

緒論

在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函式，模形式是其特例。在模空間的意義下，若模形式對應到橢圓曲線，則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。

定義

固定正整數g,N。首先定義西格爾上半平面為

換言之，此即虛部正定之對稱矩陣構成的空間。

再定義一個離散子群

其中表 階單位矩陣。

再設

為一有理復表示，這相當於說是代數簇之間的有理映射，並保持群運算。

現在可以定義西格爾模形式：對任一函式 ，我們採用下述符號

所謂權為、次數為g、階為N 的西格爾模形式，是滿足下述條件的全純函式：

當g=1時，須要求f在無窮遠處全純。對於g>1，可證明此條件自動成立（Koecher 定理）。

套用

卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念，本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題，例如共形場論。