辛群(數學名詞)

在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。我們分別稱之為 Sp(2n,F) 與 Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以區別。

許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

基本介紹

• 中文名：辛群
• 外文名：symplectic group
• 符號：Sp(2n,F) 與 Sp(n)
• 套用學科：數學
• 定義：指涉兩類不同但關係密切的群
• 所屬領域：數學

Sp(2n, F)

域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩陣在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域R、複數域C或非阿基米德局部域，如p進數域 。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於 的連通代數群。 是單連通的，而 的基本群則同構於 。

的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣A：

其中 表示A的轉置矩陣，而 是下述反對稱矩陣

Sp(n)

緊辛群定義為（表四元數）上保持標準埃爾米特形式

之可逆線性變換。換言之，即四元數上的酉群。有時此群也被稱為超酉群。即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球。

並不同構於之前定義的。下節將解釋其間的聯繫。

是維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

其李代數由滿足下述關係的n階四元數矩陣構成

其中是A的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群有時稱為酉辛群，記為。

相關聯繫

以上定義之與之李代數在復化後給出相同的單李代數。此李代數記作。此李代數也就是復李群之李代數，記作。它有兩個不同的實形式：

緊緻形式，即之李代數。

正規形式，即。

辛群之間的關係

	矩陣	李群	dim/R	dim/C	緊緻	π1
Sp(2n,R)	R	實	n(2n+ 1)	–	否	Z
Sp(2n,C)	C	復	2n(2n+ 1)	n(2n+ 1)	否	1
Sp(n)	H	實	n(2n+ 1)	–	是	1