複合分布

複合分布

複合分布,是一類機率分布,如果一個隨機變數ξ服從的分布與一個參數α有關,而α也是一個隨機變數,α服從一個確定的分布,這時稱隨機變數ξ服從一個複合分布。例如,複合二項分布複合泊松分布、複合負二項分布等。

基本介紹

  • 中文名:複合分布
  • 外文名:compound probability distribution (also known as a mixture distribution or contagious distribution)  
  • 所屬學科:數學(統計學)
  • 舉例:複合二項分布、複合泊松分布等
  • 屬性:一類機率分布
基本介紹,相關定理,舉例說明,

基本介紹

複合分布是由分布參數的隨機化產生的機率分布。設隨機變數的分布函式
[或機率函式
]所依賴的參數
本身是隨機變數,則由分布函式[或機率函式]
所決定的機率分布稱做複合分布。如X服從參數為
指數分布,其分布函式為
,而
服從參數為
分布,則相應的複合分布的分布函式
混合分布也可以視為複合分布。

相關定理

設隨機變數
服從的分布與一個參數
有關,而
也是一個隨機變數,它服從一個確定的分布,且與
相互獨立,這時稱隨機變數
服從一個複合分布。
定理1設隨機變數
參數均是取值為非負整數的離散型隨機變數,且
,則複合分布為
證明:考慮二維隨機變數
,對於
,由條件分布,得
故邊際分布
即為所求。
定理2
為離散型隨機變數,
連續型隨機變數,其密度函式
滿足,當
時,
時,
,則複合分布為
其中
定理3
為連續型隨機變數,其密度函式為
為離散型隨機變數,其分布滿足
,則複合分布為
定理4
均為連續型隨機變數,其密度函式分別為
滿足,當
時,
,則複合分布的密度函式為

舉例說明

例1 複合二項分布
服從二項分布,
,其中n服從參數為
的泊松分布,則複合二項分布為
例2 設隨機變數
服從泊松分布
其中參數
是一個連續型隨機變數。其密度函式
則複合分布為
令,
,於是

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