Poisson分布，是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分布，由法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年時發表。
基本介紹
- 中文名：泊松分布
- 外文名：poisson distribution
- 分類：數學
- 時間：1838年
- 台譯：卜瓦松分布
- 提出：西莫恩·德尼·泊松
- 期望E(x)：λ
- 方差D(x)：λ
命名原因,分布特點,關係,套用場景,套用示例,推導,形式與性質,
命名原因
泊松分布（Poisson distribution），台譯卜瓦松分布（法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution，譯名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分布（discrete probability distribution）。泊松分布是以18～19 世紀的法國數學家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年時發表。這個分布在更早些時候由貝努里家族的一個人描述過。
泊松分布實例
泊松分布實例分布特點
泊松分布的機率函式為：
泊松分布的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生次數。 泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數。
泊松分布的期望和方差均為
特徵函式為
關係
泊松分布與二項分布
當二項分布的n很大而p很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，其中λ為np。通常當n≧20,p≦0.05時，就可以用泊松公式近似得計算。
泊松分布
泊松分布事實上，泊松分布正是由二項分布推導而來的，具體推導過程參見本詞條相關部分。
套用場景
在實際事例中，當一個隨機事件，例如某電話交換台收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性物質發射出的粒子、顯微鏡下某區域中的白血球等等，以固定的平均瞬時速率λ（或稱密度）隨機且獨立地出現時，那么這個事件在單位時間（面積或體積）內出現的次數或個數就近似地服從泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都占有重要的地位。（在早期學界認為人類行為是服從泊松分布，2005年在nature上發表的文章揭示了人類行為具有高度非均勻性。）
套用示例
泊松分布適合於描述單位時間（或空間）內隨機事件發生的次數。如某一服務設施在一定時間內到達的人數，電話交換機接到呼叫的次數，汽車站台的候客人數，機器出現的故障數，自然災害發生的次數，一塊產品上的缺陷數，顯微鏡下單位分區內的細菌分布數等等。
觀察事物平均發生m次的條件下，實際發生x次的機率P（x）可用下式表示：
例如採用0.05J/㎡紫外線照射大腸桿菌時，每個基因組（～4×10核苷酸對）平均產生3個嘧啶二體。實際上每個基因組二體的分布是服從泊松分布的，將取如下形式：
……
推導
泊松分布是最重要的離散分布之一，它多出現在當X表示在一定的時間或空間內出現的事件個數這種場合。在一定時間內某交通路口所發生的事故個數，是一個典型的例子。泊松分布的產生機制可以通過如下例子來解釋。
為方便記，設所觀察的這段時間為[0,1),取一個很大的自然數n，把時間段[0,1)分為等長的n段：
1. 在每段
內，恰發生一個事故的機率，近似的與這段時間的長
成正比，可設為
。當n很大時，
很小時，在
這么短暫的一段時間內，要發生兩次或者更多次事故是不可能的。因此在
這段時間內不發生事故的機率為
。
2. 
各段是否發生事故是獨立的
把在[0,1)時段內發生的事故數X視作在n個劃分之後的小時段
內有事故的時段數，則按照上述兩個假定，X應服從二項分布
。於是，我們有
注意到當
取極限時，我們有
因此
從上述推導可以看出：泊松分布可作為二項分布的極限而得到。一般的說，若
,其中n很大，p很小，因而
不太大時，X的分布接近於泊松分布
。這個事實有時可將較難計算的二項分布轉化為泊松分布去計算。
形式與性質
階乘特點以及泰勒公式使得一類期望的計算十分簡便
