泊松回歸

泊松回歸（英語：Poisson regression）是用來為計數資料和列聯表建模的一種回歸分析。泊松回歸假設反應變數Y是泊松分布，並假設它期望值的對數可被未知參數的線性組合建模。泊松回歸模型有時（特別是當用作列聯表模型時）又被稱作對數-線性模型。

基本介紹

• 中文名：泊松回歸
• 外文名：Poisson regression
• 簡介：計數資料列聯表建模一種回歸分析
• 技術原理：假設反應變數Y是泊松分布

泊松回歸模型

代表由一組相互獨立的變數組成的向量，其泊松回歸的模型形式為:

亦可簡潔表示為：

此處， 是 維的向量，由 個獨立變數（自變數向量）一個常向量（元素取值全為1）構成，用一個θ代表第一個表達式當中的α和β。

因此，當已知泊松回歸模型當中的θ和解釋變數 ， 其滿足泊松分布的被解釋變數的期望值可以由下式來預測：

Y_i是被解釋變數的觀測值，相應的解釋變數為x_i，可由極大似然估計（Maximum Likelihood estimation）的方法來估計參數θ。 極大似然估計不能通過解析表達式獲得解析解，是由其對數似然函式為凸函式的特性，可通過Newton–Raphson 或其他基於梯度下降的思想方法來進行參數估計。

極大似然估計

如上所述，已知泊松回歸模型當中的θ和解釋變數 , 其回歸表達式為：

泊松分布的機率密度函式為：

現已知解釋變數的觀測值為由m個向量組成 , 對應m個被解釋變數的觀測值， . 若同時已知θ, 則該組觀測值所對應的聯合機率可由下式表達：

極大似然方法估計θ的核心思想是，去找到能使得基於當前觀測值的聯合機率儘可能達到最大的θ。（可理解為：變數的取值當前觀測值，與取值為其他任何數值相比，是發生機率最高的事件）。 既然目標是尋找到最優的θ，可以先將上式的等號左邊簡單表達為關於θ的表達式：

注意等號右邊的表達式並未改寫，但通常難於付諸計算，因而採用其對數變化後的表達式（log-likelihood）即：

由於θ僅出現在似然函式的前兩項，因而在極大化似然函式的運算過程中，可以只考慮前兩項。可以刪去第三項y_i!，待最佳化的似然函式可以簡潔表達為：

為了找到極大值，需要求解方程：

可以通過對其似然函式取負值 （negative log-likelihood）, 是一個凸函式, 標準的凸最佳化方法可以考慮來求解θ的最優值。統一的方法是Newton-Raphson 與Iterative Weighted Least Square（IWLS）算法。 給θ一組初始值，IWLS 是通過多次疊代更新直到θ收斂。

簡介

泊松回歸，並假設它期望值的對數可被未知參數的線性組合建模。泊松回歸模型有時（特別是當用作列聯表模型時）又被稱作對數-線性模型。

2014年世界盃，所有的數據分析專家都以數據為準，分析員最後都會將其整合成模型。通常情況下，建模人員會把問題從“哪一支隊伍會勝出”改為“X隊和Y隊比賽，X隊會進多少個球”，這裡使用到的是一種名為“雙變數泊松回歸分析法”(bivariate Poisson regression)。

“雙變數”指的是，在做出某個單一結果的預測時需要參考兩個相互影響的因素，比如一場比賽中的X隊和Y隊的表現。“回歸分析法”指將即有數據填充到模型中去。而“泊松分布”則是很有趣的分析方法。

試想像，你站在路旁，想要知道一分鐘會有多少汽車急馳而過。首先，你必須收集數據。利用秒表和計數器，第一分鐘，假設有15輛車駛過；第二分鐘，18輛；而下一分鐘只有4輛。持續記錄下去，你就可以得到一個模型，這便是“泊松分布”的原型。這項分析方法是由法國數學家西莫恩·德尼·泊松提出，用於估測人們做出錯誤判斷的幾率。

根據泊松分布，足球比賽的結果同樣具有分散性。一支足球隊進1或2個球的可能性最大，其次為不進或者進3個，而進4或5個球(或者更多)的幾率則大大下降。於是建模人員會根據這支隊伍之前的表現，通過泊松分布製圖，預測出它們之後得分的情況。

案例分析

觀眾們就開始預測結果並且在體育賽事上投下賭注；而近些年，一種與眾不同的數據分析法逐漸雄踞賽事預測市場。高盛，彭博以及納特·西弗尓的538(Five Thirty Eight)官網都利用數據，來對比賽的結果做出最為準確。高盛預測本土作戰的巴西有48.5%的幾率拿下冠軍；538給出的幾率是45%，而彭博認為巴西奪冠的幾率僅僅只有19.9%。