基本介紹
- 外文名：chain rule
- 適用領域範圍：微積分
- 套用學科：數學
- 中文名：鏈式法則
證明
證法一
f(x)在點x0可導的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內，存在一個在點x0連續的函式H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)
證明：設f(x)在x0可導，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
所以H(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
反之，設存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)
所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=H(x0)
設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則複合函式F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函式H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函式G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
因為φ，G在x0連續，H在u0=φ(x0)連續，因此H(φ(x))G(x)在x0連續，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導，且
F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證法二：y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則複合函式y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)
當Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
但當Δu=0時，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。
又因為Δx≠0,用Δx除以等式兩邊，且求Δx->0的極限，得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x處連續(因為它可導),故當Δx->0時，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
則lim(Δx->0)α=0
最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
舉例
設f(x)=3x，g(x)=3x+3，求g(f(x))的導數
可令t=f(x)=3x
則g(f(x))的導數=g′(t)f(x)′=(3t+3)′×(3x)′=3×3=9
明確在計算步驟中是對哪個變數求導是複合函式求導的關鍵
如在上面步驟中求g′(t)也即g′(f(x))時的變數是t，也即f(x)
