艾森斯坦整數

艾森斯坦整數在複平面上形成了一個三角形點陣。高斯整數則形成了一個正方形點陣。

艾森斯坦整數是具有以下形式的複數：a+bω

其中a和b是整數，且ω是三次單位根。

基本介紹

• 中文名：艾森斯坦整數
• 公式：z = a + bω
• 艾森斯坦整數：代數數
• 素數：唯一的因子是ux的形式

性質

艾森斯坦整數在代數數域Q(ω)中形成了一個代數數的交換環。每一個z = a + bω都是首一多項式的根。特別地，ω滿足以下方程：

因此，艾森斯坦整數是代數數。

艾森斯坦整數的範數是它的絕對值的平方，由以下的公式給出：

因此它總是整數。由於：

因此非零艾森斯坦整數的範數總是正數。

艾森斯坦整數環中的可逆元群，是複平面中六次單位根所組成的循環群。它們是：

{±1, ±ω, ±ω2}它們是範數為一的艾森斯坦整數。

艾森斯坦素數

設x和y是艾森斯坦整數，如果存在某個艾森斯坦整數z，使得y = z x，則我們說x能整除y。

它是整數的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸素數的概念：一個非可逆元的艾森斯坦整數x是艾森斯坦素數，如果它唯一的因子是ux的形式，其中u是六次單位根的任何一個。

我們可以證明，任何一個被3除餘1的素數都具有形式x−xy+y，因此可以分解為(x+ωy)(x+ωy)。因為這樣，它在艾森斯坦整數中不是素數。被3除餘2的素數則不能分解為這種形式，因此它們也是艾森斯坦素數。

任何一個艾森斯坦整數a + bω，只要範數a−ab+b為素數，那么就是一個艾森斯坦素數。實際上，任何一個艾森斯坦整數要么就是這種形式，要么就是一個可逆元和一個被3除餘2的素數的乘積。

歐幾里德域

艾森斯坦整數環形成了一個歐幾里德域，其範數N由以下的公式給出：