算術基本定理

算術基本定理可表述為：任何一個大於1的自然數 N,如果N不為質數，那么N可以唯一分解成有限個質數的乘積N=P₁^a1P₂^a2P₃^a3......P_n^an，這裡P_1<P_2<P_3......<P_n均為質數，其中指數a_i是正整數。這樣的分解稱為 N 的標準分解式。最早證明是由歐幾里得給出的，現代是由陳述證明。此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。

基本介紹

• 中文名：算術基本定理
• 外文名：Fundamental Theorem of Arithmetic
• 別稱：唯一分解定理
• 提出者：歐幾里得
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：交換代數和代數數論等

發展簡史

算術基本定理是初等數論中一條非常基本和重要的定理，它把對自然數的研究轉化為對其最基本的元素——素數的研究。它所體現的唯一因子分解的思想，在現代交換環理論中起著非常重要的作用。唯一因子分解的思想從本質上講是指以下兩種性質： “存在性和唯一性”。所謂“存在性”就是指一個元素可以分解為有限多個不可約因子的乘積；“唯一性”是指這種分解表示在某種意義上來說是唯一的。唯一因子分解的思想最初作為一個自然數的性質而出現，這個性質就是通常所說的算術基本定理。

算術基本定理：任何一個大於 1 的自然數可以分解成一些素數的乘積；並且在不計次序的情況下，這種分解方式是唯一的。算術基本定理起源很早，但將其提煉、明確表述成一條定理，使其在初等數論中獲得基礎性的地位，卻經歷了一段較長的時間。

歐幾里得（Euclid，約公元前 300 年）是古希臘亞歷山大時期著名的數學家，希臘論證幾何學的集大成者， 其所著《原本》（在我國通常稱為《幾何原本》）在數學史、科學史、乃至人類文明史上是一部劃時代的傑作，從它問世之日起，備受人們推崇，直至今日，已用世界各種文字發行了 1000多版，被譽為西方科學的“聖經”。在《原本》中，歐幾里得運用公理化的方法對當時的數學知識進行了系統化和理論化的總結，形成了數學史上第一個演繹數學的公理化體系，對其後數學的發展產生了深遠的影響。

在現在的初等數論教材中，通常都將算術基本定理作為一條基本定理看待：即首先給出素數的定義，接著就證明唯一素因子分解定理——算術基本定理，然後再在此基礎上討論互素數和最大公因數的性質以及其它的數論問題。

定理定義

任何一個大於1的自然數 ，如果N不為質數，都可以唯一分解成有限個質數的乘積 ，這裡 均為質數，其諸指數 是正整數。

這樣的分解稱為 的標準分解式。

驗證推導

算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。而以下是用現代的陳述方式去證明。

存在性

待證命題：大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

用反證法：假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。

非零自然數可以根據其可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義，n大於1。其次，n不是質數，因為質數p可以寫成質數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個小於自身而大於1的自然數的積。設其中a和b都是介於1和n之間的自然數，因此，按照n的定義，a和b都可以寫成質數的乘積。從而n也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性

歐幾里得引理：若質數p|ab，則p|a或p|b。

證明：若p|a則證明完畢。若否，p和a的最大公約數為1。根據裴蜀定理，存在整數對(m,n)使得ma+np=1。於是b=b(ma+np) =abm+bnp。

由於p|ab，上式右邊兩項都可以被p整除。所以p|b。

再用反證法：假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那么假設n是最小的一個。

首先 不是質數。將n用兩種方法寫出：

根據引理，質數

所以 中有一個能被 整除，即 中有一個能被 整除。不妨設為 。但 也是質數，因此 。

假設 ，則 。那麽，按照之前類似的論證， 有一個能被 整除，但 。所以不能有 ，同理，也不能有 ，因此 。

兩邊相除得 ，於是一個存在比 小的正整數，可以用多於一種的方式寫成多個質數的乘積。

這與 的最小性矛盾。

因此唯一性得證。

定理套用

（1）一個大於1的正整數N，如果它的標準分解式為： ，那么它的正因數個數為 。

（2） 它的全體正因數之和為 。

當 時就稱N為完全數。 是否存在奇完全數，是一個至今未解決之猜想。

（3） 利用算術基本定理可以重新定義整數a和b的最大公因子 和最低公倍數 ， 並證明 。

（4）此外還可證明根號2是無理數等等。

（5）證明素數個數無限。

定理推廣

此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。 高斯證明復整數環Z[i]也有唯一分解定理。 它也誘導了諸如唯一分解整環，歐幾里得整環等等概念。 更一般的還有戴德金理想分解定理。