等比差數列

若數列滿足a_n+2/a_n+1－a_n+1/a_n=k（k為常數），則稱該數列為等比差數列，其中k為公比差。

基本介紹

• 中文名：等比差數列
• 外文名：geometric-arithmetic progression

定義

若數列滿足a_n+2/a_n+1－a_n+1/a_n=k，則稱該數列為等比差數列，其中k為公比差。

如1，2，8，48，384，……就是一組以1為首項，2為第二項，2為公比差的等比差數列。

性質

已知等比差數列的前2項以及公比差，其通項公式求解步驟如下：

①令b_n=a_n+1/a_n，b_n+1=a_n+2/a_n+1，則{b_n}是等差數列，由公式可求出{b_n}通項公式。

②可得a_n+1/a_n=b_n的公式，利用疊乘相消法a₂/a₁×a₃/a₂×……×a_n/a_n-1=b₁×b₂×……×b_n-1可求得a_n/a₁的公式，等式兩邊同乘a₁即可得到{a_n}的通項公式。

如：求a₁=1，a₂=2，k=2的等比差數列的通項公式。

令b_n=a_n+1/a_n，b_n+1=a_n+2/a_n+1，則{b_n}是以2為首項，2為公差的等差數列，可求得b_n=2n。

則a_n+1/a_n=b_n=2n，利用疊乘相消法a₂/a₁×a₃/a₂×……×a_n/a_n-1=b₁×b₂×……×b_n-1可求得a_n/a₁=2×4×6×……×2(n-1)=(n-1)！×2^n-1，等式兩邊同乘a₁即可得到a_n=(n-1)！×2^n-1。

套用

等比差數列常出現在用不完全歸納法推斷一串數的未知項，即找數字規律時。其在解題方面的套用較少。

另一定義

關於等比差數列的定義說法不一，有人認為，其概念應為：一個首項為a₁，以後各項由遞推式a_k=qa_k-1+d（其中q和d為常數，k≥2）確定的數列，稱為“等比差數列”。（當d=0時為等比數列，當q=1時為等差數列）。

這時等比差數列的通項公式與前n項和的公式為：

a_n=a₁q^n-1+(1-q^n-)/(1-q)·d

S_n={(1-qⁿ)[a₁-d/(1-q)]+nd}/(1-q)

兩個定義的爭議點在於，等比差數列是前後兩項之差為等比數列，還是前後兩項之比為等差數列。兩種定義可導出兩種性質不同的數列，都值得研究。