通項公式

如果數列{a_n}的第n項a_n與n之間的關係可以用一個公式來表示，這個公式叫做數列的通項公式（general formulas）。有的數列的通項可以用兩個或兩個以上的式子來表示。沒有通項公式的數列也是存在的，如所有質數組成的數列。

基本介紹

• 中文名：通項公式
• 外文名：general formulas
• 特點：不唯一
• 反例：所有質數組成的數列
• 舉例：等差數列，等比數列
• 學科：數學

定義

按一定次序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數都叫做這個數的項，各項依次叫做第1項（或首項），第2項，...，第n項，...。數列也可以看作是一個定義域為自然數集N（或它的有限子集{1,2,3，...，n}）的函式，當自變數從小到大依次取值時對應的一列函式值。

數列的一般形式可以寫成a₁，a₂，...，a_n，...，其中an是數列的第n項，也可簡記為{a_n}.

如果數列{a_n}的第n項a_n與n之間的關係可以用一個公式來表示，這個公式叫做數列的通項公式。

例1 已知數列{a_n}的通項公式為

求這個數列中的第2項與第4項。

解：

例2 依據給出的前四項

寫出它的一個通項公式。

解：因為

所以

性質

1. 若已知一個數列的通項公式，那么只要依次用1,2,3,...去代替公式中的n，就可以求出這個數列的各項。
2. 不是任何一個無窮數列都有通項公式，如所有的質數組成的數列就沒有通項公式。
3. 給出數列的前n項，通項公式不唯一。
4. 有的數列的通項可以用兩個或兩個以上的式子來表示。

等差數列通項公式

如果等差數列{a_n}，公差為d，則a_n=a₁+(n-1)d，這就是等差數列{a_n}的通項公式。

註：1）因為a_n=nd+(a₁-d)，所以等差數列的圖象是橫坐標為自然數列的同一條直線上一些分散的點，公差d的幾何意義是該直線的斜率。

2）等差數列{a_n}的通項公式還可由以下公式確定：①a_n=a_m+(n-m)d，②a_m+n=(ma_m-na_n)/(m-n)

3)等差數列{a_n}的公差d可由公式d=(a_n-a_m)/(n-m)確定。

例3 在100以內有多少個能被7整除的自然數？

解 100 以內能被7整除的自然數構造一個等差數列，其中a₁=7，d=7.由

可得

又因為n∈N，所以在100以內共有14個能被7整除的自然數。

等比數列通項公式

如果等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，則數列a_n的通項公式為a_n=a₁q^n-1.

註：1）因為a_n=a₁q^n-1，所以當q>0且q≠1時，等比數列的圖象是橫坐標為自然數的同一條指數函式上一些分散的點。

2）等比數列{a_n}的通項公式還可由a_n=a_mq^n-m公式確定。

例4 已知等比數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，寫出其通項公式。

解：顯然其通項公式為a_n=2^n-1.