矩陣分解問題的最佳化算法與理論

《矩陣分解問題的最佳化算法與理論》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由劉歆擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：矩陣分解問題的最佳化算法與理論
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉歆
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

矩陣特徵值、奇異值分解與矩陣低秩分解是求解許多複雜最佳化問題--如半定規劃問題、矩陣的秩極小化問題，和其它套用數學問題--如統計學習中的主成分分析問題、科學計算中的非線性特徵值問題的基礎工具。因而矩陣分解算法的性能往往決定了上述數學模型套用在圖像處理、醫學成像、統計學習、人工智慧、材料科學、電子商務等科學工程領域的效果與效率。隨著大數據時代的到來，數據規模不斷擴大，已有的矩陣分解算法面臨著巨大的挑戰。要使得矩陣分解能夠繼續勝任來源於大數據背景下的實際套用問題，我們迫切需要革命性的新算法。基於此本項目主要研究矩陣分解問題的最佳化算法及其理論性質。針對大數據背景下實際科學工程套用問題的特點，我們擬設計高效的子空間法、分散式最佳化算法等方法來求解套用於這些問題中的矩陣分解模型，以期所設計的新算法在效率、存儲、可擴展性等方面都較已有算法有大幅改進。我們還將分析新算法的收斂性、複雜性、穩定性等理

結題摘要

線性和非線性特徵值問題、矩陣低秩分解問題在材料計算、統計、反問題等科學領域；圖像處理、數據分析等工程領域有著重要的套用。這些問題往往都可以轉換為非凸最佳化模型。我們的研究在如下幾個方面展開：我們對這些問題都設計了高效的算法，並分析了理論性質；對於線性特徵值問題，解決了正交約束可擴展性差的瓶頸難點，設計了可並行的最佳化算法，並通過數值實驗驗證了其可擴展性；對於非線性特徵值問題，我們分析了它的解同對應的能量極小問題最優解的關係；對於矩陣低秩分解問題，我們分析了在一定條件下，其全局最優性等價於二階穩定性，因此我們可以通過局部最佳化算法找到其全局極小。本項目的研究套用在矩陣完整化、魯棒主成分分析、材料計算等領域中都取得了令人滿意的數值結果。