《矩陣低秩稀疏分解的兩步凸鬆弛法研究》是依託華南理工大學，由韓樂擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：矩陣低秩稀疏分解的兩步凸鬆弛法研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：韓樂
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
矩陣低秩稀疏分解在統計、信號與圖像處理、機器學習、以及金融等諸多領域中有著廣泛而重要的套用。本課題擬基於秩函式與零模函式的有效非凸代理，構建矩陣低秩稀疏分解問題的非光滑局部Lipschitz連續最佳化模型，進而開展兩步凸鬆弛法的研究，包括（1）構造秩函式與零模函式的局部Lipschitz連續非凸代理，建立矩陣低秩稀疏分解的局部Lipschitz連續最佳化模型；（2）通過對局部Lipschitz連續最佳化模型作兩步適當凸鬆弛，設計兩步凸鬆弛方法；（3）研究每步凸鬆弛的最優解與矩陣低秩稀疏分解真實解的誤差界、近似秩界和近似稀疏度，並量化第一步的誤差界、近似秩界和近似稀疏度在第二步的下降量；（4）設計求解凸鬆弛問題的有效收斂算法，編寫低秩稀疏分解兩步凸鬆弛法的程式代碼並進行數值試驗。該研究成果將豐富低秩稀疏最佳化和結構非光滑凸矩陣最佳化的理論，並為矩陣低秩稀疏分解提供實際有效的計算工具。
結題摘要
矩陣低秩稀疏分解在統計、信號與圖像處理、機器學習、以及金融等諸多領域中有著廣泛而重要的套用。本課題基於矩陣秩函式與零模函式的有效非凸代理，構建了矩陣低秩稀疏分解問題的非光滑局部Lipschitz連續最佳化模型，進而開展了兩步凸鬆弛法的研究，主要包括（1）構造矩陣秩函式與零模函式的局部Lipschitz連續非凸代理，建立矩陣低秩稀疏分解的兩個局部Lipschitz連續最佳化模型；（2）通過對局部Lipschitz連續最佳化模型作兩步適當凸鬆弛，分別設計矩陣低秩加稀疏極小化問題和正則化問題兩步凸鬆弛方法；（3）針對不同的最佳化問題，在適當限制特徵值條件下建立了每階段凸鬆弛問題的最優解到矩陣低秩稀疏分解問題真實解的Frobenius 範數誤差界，且從理論上嚴格證實第二階段的凸鬆弛誤差小於第一階段的凸鬆弛誤差，數值試驗也驗證了這一理論結果；（4）設計求解凸鬆弛問題的有效收斂算法，提出一種新的具有全局收斂性的變尺度超鬆弛混合鄰近外梯度算法，分析了算法的疊代複雜度和局部線性收斂速度。（5）對張量低秩稀疏分解問題做了初步探討。該研究已公開發表8篇SCI論文，完成會議報告3次，培養博士生1人、碩士生2人。該研究豐富了低秩稀疏最佳化和結構非光滑凸矩陣最佳化的理論，為矩陣低秩稀疏分解提供實際有效的計算工具，並為張量低秩稀疏分解問題提供了一定的基礎。
