《雙曲矩陣分解的理論、計算、擾動分析及套用研究》是依託重慶大學，由李寒宇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：雙曲矩陣分解的理論、計算、擾動分析及套用研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李寒宇
- 依託單位：重慶大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目擬研究雙曲矩陣分解的理論、計算、擾動分析及套用等。首先，根據經典內積與不定內積空間中矩陣的相關理論、(J_1,J_2)-正交陣和(J_1,J_2)-酉陣的性質、現有雙曲矩陣分解的相關結論以及相關經典矩陣分解的特點等構建新型的雙曲矩陣分解，並探討其性質、存在性與唯一性條件等；其次，藉助雙曲Householder變換、雙曲Givens旋轉、牛頓疊代、Jacobi疊代以及它們的變型等探索新構建的雙曲矩陣分解的計算方法，構造高效的算法；再次，針對範數型和分量型擾動，利用經典的矩陣方程方法、精緻的矩陣方程方法、矩陣向量方程方法以及它們的組合等研究現有與新構建的雙曲矩陣分解的擾動問題，以期獲得能真切反映擾動影響的一階與嚴格的絕對擾動界、相對擾動界、乘法擾動界及條件數估計等；最後，探討部分雙曲矩陣分解在不定最小二乘問題、約束不定最小二乘問題、約束不定二次規劃問題、廣義不定線性模型問題等上的套用。
結題摘要
雙曲矩陣分解是經典內積空間中矩陣分解的拓展，不但本身具有重要的理論研究價值，而且還可以套用於數學領域的一些課題如代數Riccati方程、不定最小二乘問題、最最佳化問題等，同時，在資訊理論、物理學、電機工程學等領域也套用廣泛。本項目主要研究了雙曲矩陣分解的理論、計算、擾動分析及套用等。具體研究內容及主要結果如下：(1)提出了新型的廣義雙曲QR分解並探討了其擾動分析，擴展了廣義QR分解的對應結論，相關結果發表在SCI期刊《Linear Algebra Appl.》之上；(2)系統研究了辛QR分解的擾動分析，擴展了經典QR分解的相應結論，相關結果發表在SCI期刊《Linear Multilinear Algebra》之上；(3)研究了不定最小二問題的分量型與混合型條件數，獲得了它們的顯式表達式以及易計算的上界，相關結果發表在SCI期刊《Linear Algebra Appl.》之上；(4) 研究了矩陣的廣義Cholesky分解與Cholesky-like分解的乘法擾動界與嚴格擾動界，相關結果發表在SCI期刊《Linear Algebra Appl.》、《Appl. Math. Comput.》之上；(5) 提出了新方法獲得了矩陣QR分解、LU 分解、雙曲QR分解等新的嚴格擾動界，相關結果發表或接受發表在SCI期刊《Numer. Linear Algebra Appl.》與《Linear Multilinear Algebra》之上；(6) 研究了非線性方程的條件數及其統計估計、矩陣極分解因子的擾動界、四分塊矩陣Drazin逆的表達式、矩陣的Hermitian與半正定廣義逆、不定內積空間下的矩陣的Moore-Penorose逆的分量型與混合型條件數，相關結果發表在SCI期刊《Linear Algebra Appl.》、《Math. Inequal. Appl.》、《Indian J. Pure Appl.Math.》、《Filomat》、《J. Comput. Anal. Appl.》之上。此外，研究了矩陣SR分解的乘法擾動界、雙曲矩陣分解的修正問題、半定內積下的矩陣奇異值分解問題等。所得結果豐富了雙曲矩陣分解及相關問題的理論研究與套用範圍，部分結果已被學者引用與推廣。
