矩陣秩極小問題的鬆弛理論與算法研究

《矩陣秩極小問題的鬆弛理論與算法研究》是依託北京交通大學，由孔令臣擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：矩陣秩極小問題的鬆弛理論與算法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：孔令臣
• 依託單位：北京交通大學

項目摘要

矩陣秩極小（或低秩矩陣恢復）問題是運籌學與信息科學等共同關心的一個熱點研究課題，其數學模型是一個具有NP-難的矩陣錐規劃, 它與矩陣理論、組合理論、微分幾何、凸分析和變分分析等數學分支有著緊密的聯繫，在圖像恢復與信號處理、統計、系統識別與控制、機器學習與人工智慧等領域有著廣泛的套用。 本項目欲開展對該問題的鬆弛理論與算法研究，主要內容包括:進行三種不同的鬆弛模型與理論探討, 以期給出比有限等距性質相對較弱且易於驗證的條件，同時鬆弛問題易求解、近似效果好且誤差可控；進行算法設計與理論分析, 以期得到收斂速度快、穩定性能好、適合大規模問題的算法；進行數值試驗及其在醫學成像中的套用研究, 以期得到成像速度快且圖像清晰的數值程式。 本研究能促進多個理論數學分支在數學規劃的融合與交叉，為解決實際問題提供理論與算法支撐。

結題摘要

矩陣秩極小問題是運籌學與信息科學等共同關心的一個熱點研究課題，其數學模型是一個具有NP—難的矩陣錐規劃，它與矩陣理論、組合理論、微分幾何、凸分析和變分分析等數學分支有著緊密的聯繫，在圖像恢復與信號處理、統計、系統識別與控制、機器學習與人工智慧等領域有著廣泛的套用。 本項目在矩陣核範數極小鬆弛和矩陣p範數極小鬆弛與矩陣秩極小問題的內在聯繫基礎上，圍繞矩陣秩極小問題的鬆弛理論與算法展開廣泛和深入的研究,側重於稀疏最佳化理論、算法及醫學成像套用方面，以及其在若當代數意義下的推廣和相關的不等式基礎結果方面，並且根據統計與最佳化的發展趨勢開展新的研究。共發表論文22篇，出版教材1部，其中SCI檢索論文17篇，項目組成員2人晉升為副教授，1人晉升為教授。孔令臣獲得2012度中國運籌學會青年獎，當選中國運籌學會數學規劃分會副秘書長。孔令臣在2014年9月—2015年.9月到美國明尼蘇達大學訪問鄒暉教授。組織2013全國統計最佳化高級講習班暨國際研討會，組織2013若當代數下的互補問題和稀疏最佳化國際小型研討會，組織2015 統計最佳化國際研討會，參加國際和國內學術會議10餘人次。本項目取得的重要學術成果簡潔如下： 在稀疏最佳化理論方面，對於1/2鬆弛給出了目前最好的RIP界；建立非負低秩矩陣重建的s-goodness性質； 證明了廣義Z-矩陣、Lyapunov變換、歐氏距離陣三類線性變換下的稀疏最佳化或低秩矩陣秩恢復問題是多項式可解的, 對於某些非負約束稀疏或者低秩成像，採樣量可降低且必存在快速有效的算法; 建立了在若當代數意義下的壓縮感知鬆弛理論，即RIP性質、NSP性質、S-goodness和相關的不等式結果。 在算法及套用方面，針對動態心臟MRI，採用秩-1和變換的稀疏模型，以及秩-1和稀疏矩陣分解模型，分別提出了投影交替方向法和交替硬閾值法等； 對於視頻監控問題，提出秩-1張量的稀疏分解模型，建立了改進的疊代加權L1算法。 在統計最佳化研究方面，利用統計方法，通過半定總體協方差矩陣，實現同時稀疏和低秩的估計，提出了帶有全局收斂性的一種交替方向法。 本課題對矩陣秩極小問題進行了理論、算法及套用上的深入研究，並且進行了若當代數意義下的推廣和統計最佳化方面的融合，實現了本課題預定的目標，促進了多學科的融合和交叉，為解決實際問題提供了理論和算法的支撐。