矛盾方程組

矛盾方程組(contradictory equations)是一種特殊的方程組，在求解範圍內無解(解集為空集)的方程組稱為這個範圍內的矛盾方程組。一個方程組中，若有一個矛盾方程，它必然是矛盾方程組；若方程組中的每個方程都不是矛盾方程，但它們所表達的條件是彼此矛盾的，則它也是矛盾方程組。矛盾方程組是相對的，它與給定的數集有關，若擴大給定的數集，有時可以使一個矛盾方程組轉化為有解的非矛盾方程組，即“相容方程組”。

基本介紹

• 中文名：矛盾方程組
• 外文名：contradictory equations
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等代數(方程)
• 相關概念：對稱矩陣，矩陣的秩，正定矩陣等

矛盾方程組及其求解

由線性代數理論知，求解線性方程組時，若方程式的個數多於未知數的個數，則方程組往往無解，此類方程組稱為矛盾方程組(或超定方程組)。最小二乘法是用來解矛盾方程組的一個常用方法。

設有矛盾方程組

或寫為

通常找不到能同時滿足方程組(1)的解，因此我們轉而去尋求在某種意義下的近似解，這種近似解不是指對精確解的近似(因為精確解並不存在)，而是指尋求各未知數的一組值，使方程組(1)中各式能近似相等。這就是用最小二乘法解矛盾方程組的基本思想。把近似解代入方程組(1)後，只能使各方程式的兩端近似相等，不妨記各個方程式兩端之差為

並稱該差為偏差。按最小二乘原理，採用使偏差的平方和

達到最小值來作為衡量一個近似解的近似程度的標誌。

相關概念及定理

定義1 如果 的取值使偏差平方和即式(2)達到最小，則稱這組值是矛盾方程組(1)的最優近似解。

預備知識：

(1)矩陣的秩。設矩陣A有一個n階子式D，其不等於0，而n+1階子式皆為0，那么n稱為A的秩。

(2)對稱矩陣。如果n階方陣A ，滿足A^T=A，即

則稱A為對稱矩陣。

(3)正定矩陣。設有實二次型 ，如果對於任何 ，都有 ，則稱 為正定二次型，對稱矩陣A是正定的。

如果A為正定矩陣，則A的特徵值皆為正的。且A的各階主子式皆為正。

(4)矩陣的特徵值。設A為n階方陣，如果存在常數及非零的n維列向量X，使AX=X成立，則稱是方陣A的特徵值。非零向量X稱為方陣A的屬於特徵值的特徵向量。

定理1 設n元實函式 在點 的某個鄰域內連續，且有一階及二階連續的偏導數，如果

（1）

（2）矩陣

是正定矩陣，則 是n元實函式 的極值。

定理2 設非齊次線性方程組Ax=b的係數矩陣A= ，若rankA=n，則

(1) 矩陣A^TA是對稱正定矩陣；

(2) n階線性方程組A^TAx=A^Tb有唯一的解。

下面我們討論此二次函式是否存在最小值，若存在，如何求最小值?由高等數學可知，有以下定理。

定理3 設矛盾方程組(1)的係數矩陣A的秩為n，則二次函式

一定存在最小值。

通常稱線性方程組A^TAx=A^Tb為正則方程組。只要矛盾方程組(1)的係數矩陣A的秩rankA=n，則由定理3可以得出：

(1)矛盾方程組(1)的最小二乘解存在；

(2)正則方程組A^TAx=A^Tb有唯一解，此解就是矛盾方程組(1)的最小二乘解。

用最小二乘法求解矛盾方程組Ax=b的步驟歸納如下：

(1)計算A^TA和A^Tb，得正則方程組A^TAx=A^Tb；

(2)求解正則方程組，得出矛盾方程組的最優近似解。