狀態空間表示

狀態空間表示（state space representation）是一種基於解答空間的問題表示和求解方法，它是以狀態和操作符為基礎的。在利用狀態空間圖表示時，從某個初始狀態開始，每次加一個操作符，遞增地建立起操作符的試驗序列，直到達到目標狀態為止。由於狀態空間法需要擴展過多的節點，容易出現“組合爆炸”，因而只適用於表示比較簡單的問題。

基本介紹

• 中文名：狀態空間表示
• 外文名：state space representation
• 縮寫：SSR
• 涉及學科：信息科學
• 基於：解答空間
• 基礎：以狀態和操作符為基礎

背景

現代控制面臨著大而複雜的多輸入多輸出系統.分析這種複雜系統，必須採用一種分析和設計這種系統的新方法，即現代控制原理。這種方法要求給定系統採用簡便的數學描述，從而減輕數字計算機的負擔.眾所周知，狀態空間表示法正是系統的一種簡便的數學描述和特別適合於數字計算的時間範疇表示法.因此，狀態空間表示法是現代控制原理中首先要研究的一個問題。

狀態空間

狀態空間是控制工程中的一個名詞。狀態是指在系統中決定系統狀態的最小數目的變數的有序集合[1]。而所謂狀態空間則是指該系統的全部可能狀態的集合。簡單來說，狀態空間可以視為一個以狀態變數為坐標軸的空間，因此系統的狀態可以表示為此空間中的一個向量。

系統的狀態空間表示法

一個實際的物理系統通常以微分運算元方程

P(D)Z(t)=Q(D)u( t)

Y(t)=R(D)Z(t)+H(D)u(t) (1)

來描述。在一般控制原理中基於系統(2-1)的傳遞函式

W(D)=R(D)P^-1(D)Q(D)+H(D) (2)

藉助於各種圖解法，比如根軌圖或乃氏圖等來實現控制系統的分析與設計。考慮到系統的相互耦合其傳遞函式相當複雜，有時為了簡單，在定性分析中略去相互耦合，實現系統的近似分析。然而，現代控制理論是基於系統(1)的等效狀態空間表示

X=AX+ Bu

Y=CX+Eu (3)

藉助於數字計算機來實現系統的分析與設計，從而避免了一般控制理論中的弊病，實現了系統分析與設計的數值計算程式化。

相應於系統(3)的傳遞函式為

W(D)=C(DI-A)^-tB+E (4)

在研究中，通常假設E=0，這樣並不影響所研究的問題的實質.那末

W(D)=C(DI-A)^-1B (5)

注意上面式子中， 為微分運算元，P(D),R(D),Q(D)和H(D)是關於D的適當階

次的多項式陣，Z(t)為系統的ml維部分狀態，x(t)為n維狀態矢量，y(t)為P維輸出矢

量，u(t)為q維輸入矢量,(5)式還可表示成

下面扼要介紹三種狀態空間表示法

狀態空間表達式

狀態空間表達式(state-space representation)由狀態方程和輸出方程構成，在狀態空間中對控制系統作完整表述的公式。

科學解析

在經典控制理論中，對一個線性定常系統，可用常微分方程或傳遞函式加以描述，可將某個單變數作為輸出，直接和輸入聯繫起來。實際上系統除了輸出量這個變數之外，還包含有其它相互獨立的變數，而微分方程或傳遞函式對這些內容的中間變數是不便描述的，因而不能包含系統的所有信息。顯然，從能否完全揭示系統的全部運動狀態來說，用微分方程或傳遞函式來描述一個線性定常系統有其不足之處。

在用狀態空間法分析系統時，系統的動態特性是用由狀態變數構成的一階微分方程組來描述的。它能反映系統的全部獨立變數的變化，從而能同時確定系統的全部內部運動狀態，而且還可以方便地處理初始條件。這樣，在設計控制系統時，不再只局限於輸入量、輸出量、誤差量，為提高系統性能提供了有力的工具。加之可利用計算機進行分析設計及實時控制，因而可以套用於非線性系統、時變系統、多輸入—多輸出系統以及隨機過程等。

方程式

狀態方程和輸出方程總和起來，構成一個系統完整的動態描述稱為系統的狀態空間表達式。

在經典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統的動態過程。

同一系統中，狀態變數選取的不同，狀態方程也不同。

從理論上說，並不要求狀態變數在物理上一定是可以測量的量，但在工程實踐上，仍以選取那些容易測量的量作為狀態變數為宜，因為在最優控制中，往往需要將狀態變數作為反饋量。

設單輸入—單輸出定常系統，其狀態變數為 ， ，…， ，用矢量矩陣表示時的狀態空間表達式則為：

對於多輸入—多輸出系統狀態空間表達式的矢量矩陣形式為：

簡介

狀態空間表示（state-space techniques ）是現代控制理論中建立在狀態變數描述基礎上的對控制系統分析和綜合的方法。狀態變數是能完全描述系統運動的一組變數。如果系統的外輸入為已知，那么由這組變數的現時值就能完全確定系統在未來各時刻的運動狀態。通過狀態變數描述能建立系統內部狀態變數與外部輸入變數和輸出變數之間的關係。反映狀態變數與輸入變數間因果關係的數學描述稱為狀態方程，而輸出變數與狀態變數和輸入變數間的變換關係則由量測方程來描述。狀態與狀態變數描述的概念早就存在於經典動力學和其他一些領域，但將它系統地套用於控制系統的研究，則是從1960年R.E.卡爾曼發表《控制系統的一般理論》的論文開始的。狀態空間法的引入促成了現代控制理論的建立。

數學基礎

狀態空間表示的主要數學基礎是線性代數。在狀態空間法中，廣泛用向量來表示系統的各種變數組，其中包括狀態向量、輸入向量和輸出向量。變數的個數規定為相應向量的維數。用x表示系統的狀態向量,用u和y分別表示系統的輸入向量和輸出向量，則系統的狀態方程和量測方程可表示為如下的一般形式：

式中,f(x，u，t)和g(x，u，t)為自變數x、u、t的非線性向量函式,t為時間變數。對於線性定常系統狀態方程和量測方程具有較為簡單的形式：

式中A為系統矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣,D為直接傳遞矩陣，它們是由系統的結構和參數所定出的常數矩陣。在狀態空間法中，控制系統的分析問題常歸結為求解系統的狀態方程和研究狀態方程解的性質。這種分析是在狀態空間中進行的。所謂狀態空間就是以狀態變數為坐標軸所構成的一個多維空間。狀態向量隨時間的變化在狀態空間中形成一條軌跡。對於線性定常系統，狀態軌跡主要由系統的特徵值決定。系統的特徵值規定為系統矩陣A的特徵方程det(sI-A)=0的根，其特徵可由它在s複數平面上的分布來表征。當運用狀態空間法來綜合控制系統時，問題就變為選擇一個合適的輸入向量，使得狀態軌跡滿足指定的性能要求。

優點

狀態空間表示有很多優點。由於採用矩陣表示，當狀態變數、輸入變數或輸出變數的數目增加時，並不增加系統描述的複雜性。狀態空間法是時間域方法，所以很適合於用數字電子計算機來計算。狀態空間法能揭示系統內部變數和外部變數間的關係，因而有可能找出過去未被認識的系統的許多重要特性，其中能控性和能觀測性尤其具有特別重要的意義。研究表明，從系統的結構角度來看，狀態變數描述比經典控制理論中廣為套用的輸入輸出描述（如傳遞函式）更為全面。

狀態空間表示的運用對現代控制理論中其他各種方法的發展起了重要的推動作用。線性系統代數理論、線性系統幾何理論和多變數頻域方法，都是在狀態空間法的影響下發展起來的。