基本介紹
- 中文名：容許空間
- 外文名：allowable space
- 領域：數學
- 定義：附加健忘條件的狀態空間
- 目的：研究泛函微分方程的穩定性
- 性質：衰退記憶
定義,狀態空間,容許空間中無限時滯泛函,
定義
容許空間(allowable space)是附加健忘條件的狀態空間。設X=C(R,R")，X是線性空間，賦以擬範數|·|X，記φt(s)=φ(t+s)(s∈R-)，ᗄτ>0，
Xτ={φ∈X|φ(s)∈C([-τ，0]，R)，φ-τ∈X}.
稱空間(X，|·|X)是容許的，若ᗄτ≥0及φ∈Xτ，成立：
1.φt∈X且φt關於t連續，t∈[-τ，0]。
2.μ|φ(0)|≤|φ|X≤K(τ)sup|φ(s)|+M(τ)|φ-τ|X，
這裡μ=const>0，K(s)，M(s)是連續函式。稱容許空間(X，|·|X)具有衰退記憶的，若
K(s)=K=const， limM(s)=0
由定義可知，若(X，|·|X)是容許的，則空間(Xτ，|·|Xτ)也是容許的，這裡：
|φ|X=sup{|φs|X|s∈[-τ，0]}.
引人容許空間的目的也是為了研究無窮時滯泛函微分方程的穩定性，只不過現在是把記憶衰退—健忘的條件加在狀態空間之上，但穩定性的定義要從頭敘述一遍。
狀態空間
狀態空間是控制工程中的一個名詞。狀態是指在系統中決定系統狀態的最小數目的變數的有序集合[1]。而所謂狀態空間則是指該系統的全部可能狀態的集合。簡單來說，狀態空間可以視為一個以狀態變數為坐標軸的空間，因此系統的狀態可以表示為此空間中的一個向量。
狀態空間表示法即為一種將物理系統表示為一組輸入、輸出及狀態的數學模式，而輸入、輸出及狀態之間的關係可用許多一階微分方程來描述。
狀態空間表示法提供一種方便簡捷的方法來針對多輸入、多輸出的系統進行分析並建立模型。一般頻域的系統處理方式需限制在常係數，啟始條件為0的系統。而狀態空間表示法對系統的係數及啟始條件沒有限制。
容許空間中無限時滯泛函
1969年，Coleman與Mizel等人曾對一些與系統的衰減記憶現象有關的幾種相空間的結構和性質進行了研究，研究發現：不同的相空間具有一些共同的性質，即對於處理基本問題時所需的那些定性性質，但那裡所定義的範數存在很大的缺點。為了克服這些缺點，Hale進一步把這些共同的性質抽象出來，並引入了其他幾條公理，以公理形式給出相空間，並在其上討論具體的無限時滯泛函微分方程。 1978年，Hale,Kato以及Schumacher幾乎同時確立了相空間的公理化基礎，對相空間分別建立了一套限制性的公理系統，這兩套公理系統雖然不同，但是十分相似。之後，一些學者對所給出的公理做出了輕微的改進。1978年,Hale-Kato引進了B模並建立了B空間理論，其後，Sawano對B空間進行了簡化，在這個基礎上，Kato引入了容許空間的概念，並套用其研究了無限時滯泛函微分方程的穩定性。近些年來，容許相空間的概念被廣泛接受，在研究無限時滯泛函微分方程中發揮了重要的作用。無限時滯中立型泛函微分方程零解的漸近性態是泛函微分方程理論中的一個重要的課題，一直以來都受到學術界的高度重視。自從T.A.Burton提出一致健忘的V泛函的概念以後，使得無限時滯泛函微分方程的漸近穩定性的研究有了更進一步的進展。選擇容許相空間B為考慮的相空間，利用D運算元的一致穩定性和一致漸近穩定性以及Liapunov泛函的方法,對無限時滯中立型泛函微分方程零解的B一致穩定性和B一致漸近穩定性進行了研究，得到了一些新的結果。
