基本介紹
- 中文名:特殊化預序
- 外文名:Specialization (pre)order
- 領域:數學
定義和動機,上部和下部集合,例子,重要性質,在次序上的拓撲,
定義和動機
考慮任何拓撲空間X。在X上的特殊化預序≤定義自設定
- x≤y若且唯若cl{x}是cl{y}的子集。
- x≤y若且唯若y包含在所有包含x的開集中。
這解釋了為什麼說是“特殊化”:y比x更特殊,因為它包含在更多開集中。這是顯著直覺性的,如果你把開集看作一個點x可以有也可以沒有的性質。更多開集包含一個點,它就有更多性質,因而它更加特殊。這種用法相容於經典邏輯概念屬(genus)和種(species);並相容於代數幾何的一般點的傳統用法。特殊化作為想法還套用於求值理論中。
上部元素更特殊的直覺可典型在在域理論中找到,它是在計算機科學中充分套用的序理論分支。
上部和下部集合
設X是拓撲空間並設≤是在X上的特殊化預序。關於≤所有開集都是上部集合而所有閉集都是下部集合。反過來一般不是真的。事實上,拓撲空間是Alexandrov空間,若且唯若所有上部集合都是開集(或所有閉集都是下部集合)。
設A是X的子集。包含A的最小上部集合指示為↑A而包含A的最小下部集合指示為↓A。在A= {x}是單元素集合的情況下,我們使用符號↑x和↓x。對於x∈X我們有:
- ↑x= {y∈X:x≤y} = ∩{包含x的開集}。
- ↓x= {y∈X:y≤x} = ∩{包含x的閉集} = cl{x}。
下部集合↓x總是閉集;但是上部集合↑x不必須是開集或閉集。拓撲空間X的閉合點完全就是X關於≤的極小元。
例子
- Sierpinski空間{0,1}帶有開集{∅, {1}, {0,1}},特殊化次序是自然次序 (0 ≤ 0, 0 ≤ 1和1 ≤ 1)。
重要性質
任何在兩個拓撲空間之間的連續函式都是關於這些空間的特殊化預序的單調函式。但是反過來一般不是真的。用範疇論的語言來說,我們在從拓撲空間範疇到預序集合範疇之間的函子,它把一個拓撲空間指派到它的特殊化預序。這個函子有把Alexandrov拓撲放置在預序集合上的左伴隨。
有比T0空間更特殊的空間對於它這種次序是有價值的:sober空間。它們與特殊化序的聯繫更加微妙:
對於任何sober空間X帶有特殊化序≤,我們有
- (X, ≤)是有向完全偏序,就是說 (X, ≤)的所有有向子集S都有上確界supS;
你可以把第二個性質描述為開集是“通過有向上確界不可到達的”。拓撲是關於特定次序≤是序相容的,如果它引發≤作為它的特殊化序,並且它有關於在≤中有向集合的(現存)上確界的不可到達性質。
在次序上的拓撲
特殊化序產生了從所有拓撲獲得偏序的工具。自然要問反過來也行嗎:所有偏序都是作為某個拓撲的特殊化序而獲得的嗎?
實際上,這個問題的答案是肯定的,一般的在集合X上有很多拓撲,它們引發給定次序≤作為它們的特殊化序。次序≤的Alexandroff拓撲扮演了特殊角色:它是引發≤的最精細的拓撲。另一個極端,引發≤的最粗糙的拓撲是上部拓撲,在其中集合{yinX|y≤x}(對於某個X中的xin )的所有補集都是開集的最小的拓撲。
在這兩個極端之間還有有趣的拓撲。對於給定次序≤在上述序相容意義上最精細的拓撲是斯科特拓撲。但是上部拓撲仍市最粗糙的序相容拓撲。事實上它的開集甚至用任何上確界都不能到達。因此任何sober空間帶有特殊化序≤都精細於上部拓撲並粗糙於斯科特拓撲。然而,這種空間可能不存在。特別是斯科特拓撲不必然是sober拓撲。