特徵子空間

特徵子空間(characteristic subspace)是一類重要的子空間，即對應於線性變換的一特徵值的子空間。設V是域P上的線性空間，σ是V的一個線性變換，σ的對應於特徵值λ₀的全體特徵向量與零向量所成的集合。

基本介紹

• 中文名：特徵子空間
• 外文名：characteristic subspace
• 所屬學科：數理科學
• 屬性：線性變換的一特徵值的子空間

定義

方陣 的屬於特徵值 的特徵向量是齊次線性方程組 即 的非零解。此方程組 的解集 是 的子空間，稱為 的屬於特徵值 的特徵子空間。

線性空間 上線性變換 的屬於特徵值 ：的全體特徵向量與零向量構成的集合。

是 的子空間，稱為 的屬於特徵值 的特徵子空間。

只要求出了特徵子空間的 的一組基，基向量的全體非零線性組合就是全體特徵向量。

同一線性變換 (或方陣 )的屬於不同特徵值 的特徵子空間之和是直和，屬於不同特徵值的特徵向量 線性無關。

對角化條件

上線性變換 如果在某組基下的矩陣 是對角陣，就稱 可對角化。

在基M下的矩陣是對角陣 M的向量全部是 的特徵向量 各特徵子空間的直和等於 。

方陣 如果相似於對角陣，就稱 可對角化。

是對角陣 P的各列是的特徵向量： 。

可對角化 在任何一組基下的矩陣可對角化。

幾何重數與代數重數

設 是方陣A的全部不同的特徵值，每個特徵值 在特徵多項式 中的重數 稱為 的代數重數，特徵子空間 的維數 稱為 幾何重數，每個特徵值 的幾何重數≥1且≤代數重數。

可對角化 所有的特徵值的幾何重數等於代數重數。

特殊情形：如果n階方陣 有n個不同的特徵值，則每個特徵值的代數重數和幾何重數都等於1， 可對角化。

例題分析與解答

設 的線性變換 將 中每個方陣 送到它的轉置 。求 的特徵值和特徵向量， 是否可對角化?

解 對任意 有 ，可見 是 上的恆等變換， 的屬於每個特徵值 的特徵向量 滿足 從而 ，將 代入得 ，從而 。

是 的屬於特徵值1的特徵向量 且 是非零對稱方陣。

是 的屬於特徵值-1的特徵向量 且 是非零斜對稱方陣。

存在一組由特徵向量組成的基：

在這組基下的矩陣是對角陣 。