波萊爾可測函式

波萊爾可測函式

波萊爾可測函式(Borel measurable function)亦稱波萊爾函式,是與波萊爾集相適應的可測函式。設f(x)是定義在波萊爾集B⊂R上的擴充實值函式,若對任意實數α,點集{x∈B|f(x)>α}是一波萊爾集,則稱f(x)是B上的波萊爾可測函式。這類函式構成了勒貝格可測函式類的子類,R中勒貝格可測函式與波萊爾函式的複合函式有如下關係:B°B=B, L°B=L, B°L=X, L°L=X,其中B,L分別表示波萊爾可測、勒貝格可測,X表示不一定可測。

基本介紹

  • 中文名:波萊爾可測函式
  • 外文名:Borel measurable function
  • 所屬學科:數學
  • 別名:波萊爾函式
  • 相關概念:波萊爾集,可測函式等
  • 類型:數學術語
定義,相關性質定理,

定義

假設
,是定義在
上的單值實函式,稱
為(m元)波萊爾函式,如果對於任意實數
,其中
是m維波萊爾
代數。波萊爾函式又叫做波萊爾可測函式(或
-可測函式)。
波萊爾函式是一類相當廣泛的函式,它包括一切階梯函式、一切連續函式和分段連續函式。波萊爾函式經過有限次的加、減、乘、除運算以及函式的複合,仍然是波萊爾函式;波萊爾函式列的(上、下)極限以及上確界下確界仍然是波萊爾函式。

相關性質定理

1. 波萊爾函式是相當廣泛的一類函式:一切波萊爾集示性函式都是波萊爾函式;即如果
,則它的示性函式
波萊爾函式
2. 假設
是任意n個實數,那么
波萊爾函式(稱做波萊爾階梯函式)。
3. 如果
是一列波萊爾函式,則
都是波萊爾函式。
4. 一切連續函式都是波萊爾函式。
5. 如果
,是m元波萊爾函式,而
,是一元波萊爾函式,則
,是一元波萊爾函式。特別,如果
是波萊爾函式,則
都是波萊爾函式。
引理1 假設
,是波萊爾函式,而
機率空間
上的m維隨機向量。那么,
是一隨機變數。

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