波粒二象性（wave-particle duality）指的是所有的粒子或量子不僅可以部分地以粒子的術語來描述，也可以部分地用波的術語來描述。波粒二象性是指某物質同時具備波和粒子的特質。這意味著經典的有關“粒子”與“波”的概念失去了完全描述量子範圍內的物理行為的能力。愛因斯坦這樣描述這一現象：“好像有時我們必須用一套理論，有時候又必須用另一套理論來描述（這些粒子的行為），有時候又必須兩者都用。我們遇到了一類新的困難，這種困難迫使我們要藉助兩種互相矛盾的的觀點來描述現實，兩種觀點單獨是無法完全解釋光的現象的，但是合在一起便可以。” 波粒二象性是微觀粒子的基本屬性之一。1905年，愛因斯坦提出了光電效應的光量子解釋，人們開始意識到光波同時具有波和粒子的雙重性質。1924年，德布羅意提出“物質波”假說，認為和光一樣，一切物質都具有波粒二象性。根據這一假說，電子也會具有干涉和衍射等波動現象，這被後來的電子衍射試驗所證實。
2015年瑞士洛桑聯邦理工學院科學家成功拍攝出光同時表現波粒二象性的照片。
基本介紹
發展里程碑,理論概述,發展簡史,早期理論,實驗驗證,定律定義,機率波,基本方程,
發展里程碑
惠更斯、牛頓
按照惠更斯原理，波的直線傳播與球面傳播。
較為完全的光理論最早是由克里斯蒂安·惠更斯發展成型，他提出了一種光波動說。使用這理論，他能夠解釋光波如何因相互干涉而形成波前，在波前的每一點可以認為是產生球面次波的點波源，而以後任何時刻的波前則可看作是這些次波的包絡。從他的原理，可以給出波的直線傳播與球面傳播的定性解釋，並且推導出反射定律與折射定律，但是他並不能解釋，為什麼當光波遇到邊緣、孔徑或狹縫時，會偏離直線傳播，即衍射效應。惠更斯假定次波只會朝前方傳播，而不會朝後方傳播。他並沒有解釋為什麼會發生這種物理行為。稍後，艾薩克·牛頓提出了光微粒說。他認為光是由非常奧妙的微粒組成，遵守運動定律。這可以合理解釋光的直線傳播和反射性質。但是，對於光的折射與衍射性質，牛頓的解釋並不很令人滿意，他遭遇到了較大的困難。
由於牛頓無與倫比的學術地位，他的粒子理論在一個多世紀內無人敢於挑戰，而惠更斯的理論則漸漸為人淡忘。直到十九世紀初衍射現象被發現，光的波動理論才重新得到承認。而光的波動性與粒子性的爭論從未平息。
楊、菲涅爾、麥克斯韋、赫茲
在雙縫實驗裡，從光源傳播出來的相干光束，照射在一塊刻有兩條狹縫的不透明擋板 。在擋板的後面，擺設了攝影膠捲或某種偵測屏 ，用來紀錄到達 的任何位置 的光束。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光束在偵測屏的干涉圖樣。
十九世紀早期，托馬斯·楊和奧古斯丁·菲涅耳分別做出重大貢獻。托馬斯·楊完成的雙縫實驗顯示出，衍射光波遵守疊加原理，這是牛頓的光微粒說無法預測的一種波動行為。這實驗確切地證實了光的波動性質。奧古斯丁·菲涅耳提出惠更斯-菲涅耳原理，在惠更斯原理的基礎上假定次波與次波之間會彼此發生干涉，又假定次波的波幅與方向有關。惠更斯－菲涅耳原理能夠解釋光波的朝前方傳播與衍射現象。光波動說並沒有立刻取代光微粒說。但是，到了十九世紀中期，光波動說開始主導科學思潮，因為它能夠說明偏振現象的機制，這是光微粒說所不能夠的。
同世紀後期，詹姆斯·麥克斯韋將電磁學的理論加以整合，提出麥克斯韋方程組。這方程組能夠分析電磁學的種種現象。從這方程組，他推導出電磁波方程。套用電磁波方程計算獲得的電磁波波速等於做實驗測量到的光波速度。麥克斯韋於是猜測光波就是電磁波。電磁學和光學因此聯結成統一理論。1888年，海因里希·赫茲做實驗發射並接收到麥克斯韋預言的電磁波，證實麥克斯韋的猜測正確無誤。從這時，光波動說開始被廣泛認可。
普朗克黑體輻射定律
1901年，馬克斯·普朗克發表了一份研究報告，他對於黑體在平衡狀況的發射光波頻譜的預測，完全符合實驗數據。在這份報告裡，他做出特別數學假說，將諧振子（組成黑體牆壁表面的原子）所發射或吸收的電磁輻射能量加以量子化，他稱呼這種離散能量為量子。
其中，h是離散能量， 是普朗克常數。
這就是著名的普朗克關係式。從普朗克的假說，普朗克推導出一條黑體能量分布定律，稱為普朗克黑體輻射定律。
愛因斯坦與光子
光電效應示意圖：來自左上方的光子衝撞到金屬表面，將電子逐出金屬表面，並且向右上方移去。
光電效應指的是，照射光束於金屬表面會使其發射出電子的效應，發射出的電子稱為光電子。為了產生光電效應，光頻率必須超過金屬物質的特徵頻率，稱為其“極限頻率”。舉例而言，照射輻照度很微弱的藍光束於鉀金屬表面，只要頻率大於其極限頻率，就能使其發射出光電子，但是無論輻照度多么強烈的紅光束，一旦頻率小於鉀金屬的極限頻率，就無法促使發射出光電子。根據光波動說，光波的輻照度或波幅對應於所攜帶的能量，因而輻照度很強烈的光束一定能提供更多能量將電子逐出。然而事實與經典理論預期恰巧相反。
1905年，愛因斯坦對於光電效應給出解釋。他將光束描述為一群離散的量子，現稱為光子，而不是連續性波動。從普朗克黑體輻射定律，愛因斯坦推論，組成光束的每一個光子所擁有的能量 等於頻率 乘以一個常數，即普朗克常數，他提出了“愛因斯坦光電效應方程”，其中， Wo是逃逸電子的最大動能， 是逸出功。
假若光子的頻率大於物質的極限頻率，則這光子擁有足夠能量來克服逸出功，使得一個電子逃逸，造成光電效應。愛因斯坦的論述解釋了為什麼光電子的能量只與頻率有關，而與輻照度無關。雖然藍光的輻照度很微弱，只要頻率足夠高，則會產生一些高能量光子來促使束縛電子逃逸。儘管紅光的輻照度很強烈，由於頻率太低，無法給出任何高能量光子來促使束縛電子逃逸。
1916年，美國物理學者羅伯特·密立根做實驗證實了愛因斯坦關於光電效應的理論。從麥克斯韋方程組，無法推導出普朗克與愛因斯坦分別提出的這兩個非經典論述。物理學者被迫承認，除了波動性質以外，光也具有粒子性質。
既然光具有波粒二象性，應該也可以用波動概念來分析光電效應，完全不需用到光子的概念。1969年，威利斯·蘭姆與馬蘭·斯考立（Marlan Scully）套用在原子內部束縛電子的能級躍遷機制證明了這論述。
德布羅意與物質波
在光具有波粒二象性的啟發下，法國物理學家德布羅意（1892～1987）在1924年提出一個假說，指出波粒二象性不只是光子才有，一切微觀粒子，包括電子和質子、中子，都具有波粒二象性。他把光子的動量與波長的關係式p=h/λ推廣到一切微觀粒子上，指出：具有質量m 和速度v 的運動粒子也具有波動性，這種波的波長等於普朗克恆量h 跟粒子動量mv 的比，即λ= h/（mv）。這個關係式後來就叫做德布羅意公式。
三年後，通過兩個獨立的電子衍射實驗，德布羅意的方程被證實可以用來描述電子的量子行為。在阿伯丁大學，喬治·湯姆孫將電子束照射穿過薄金屬片，並且觀察到預測的干涉樣式。在貝爾實驗室，柯林頓·戴維森和雷斯特·革末做實驗將低速電子入射於鎳晶體，取得電子的衍射圖樣，這結果符合理論預測。
海森堡不確定性原理
1927年，維爾納·海森堡提出海森堡不確定性原理。
海森堡原本解釋他的不確定性原理為測量動作的後果：準確地測量粒子的位置會攪擾其動量，反之亦然。他並且給出一個思想實驗為範例，即著名的海森堡顯微鏡實驗，來說明電子位置和動量的不確定性。這思想實驗關鍵地倚靠德布羅意假說為其論述。但是現今，物理學者認為，測量造成的攪擾只是其中一部分解釋，不確定性存在於粒子本身，是粒子內秉的性質，在測量動作之前就已存在。
實際而言，對於不確定原理的現代解釋，將尼爾斯·玻爾與海森堡主導提出的哥本哈根詮釋加以延伸，更甚倚賴於粒子的波動說：就如同研討傳播於細繩的波動在某時刻所處的準確位置是毫無意義的，粒子沒有完美準確的位置；同樣地，就如同研討傳播於細繩地脈波的波長是毫無意義地，粒子沒有完美準確的動量。此外，假設粒子的位置不確定性越小，則動量不確定性越大，反之亦然。
大尺寸物體的波動行為
自從物理學者演示出光子與電子具有波動性質之後，對於中子、質子也完成了很多類似實驗。在這些實驗裡，比較著名的是於1929年奧托·施特恩團隊完成的氫、氦粒子束衍射實驗，這實驗精彩地演示出原子和分子的波動性質。近期，關於原子、分子的類似實驗顯示出，更大尺寸、更複雜的粒子也具有波動性質，這在本段落會有詳細說明。
1970年代，物理學者使用中子干涉儀（neutron interferometer）完成了一系列實驗，這些實驗強調引力與波粒二象性彼此之間的關係。中子是組成原子核的粒子之一，它貢獻出原子核的部分質量，由此，也貢獻出普通物質的部分質量。在中子干涉儀里，中子就好似量子波一樣，直接感受到引力的作用。因為萬物都會感受到引力的作用，包括光子在內（請參閱條目廣義相對論的實驗驗證），這是已知的事實，這實驗所獲得的結果並不令人驚訝。但是，帶質量費米子的量子波，處於引力場內，自我干涉的現象，尚未被實驗證實。
1999年，維也納大學研究團隊觀察到C60 富勒烯的衍射富勒烯是相當大型與沉重的物體，原子量為720 u，德布羅意波長為2.5 pm，而分子的直徑為1 nm，大約400倍大。2012年，這遠場衍射實驗被延伸實現於酞菁分子和比它更重的衍生物，這兩種分子分別是由58和114個原子組成。在這些實驗裡，干涉圖樣的形成被實時計錄，敏感度達到單獨分子程度。
2003年，同樣維也納研究團隊演示出四苯基卟啉（tetraphenylporphyrin）的波動性。這是一種延伸達2 nm、質量為614 u的生物染料。在這實驗裡，他們使用的是一種近場塔爾博特-勞厄干涉儀（Talbot Lau interferometer）。使用這種干涉儀，他們又觀察到C60F48.的干涉條紋，C60F48.是一種氟化巴基球，質量為1600 u，是由108 個原子組成。像C70富勒烯一類的大型分子具有恰當的複雜性來顯示量子干涉與量子退相干，因此，物理學者能夠做實驗檢試物體在量子-經典界限附近的物理行為。2011年，對於質量為6910 u的分子做實驗成功展示出干涉現象。2013年，實驗證實，質量超過10,000 u的分子也能發生干涉現象。
在物理學裡，長度與質量之間存在有兩種基本關係。一種是廣義相對論關係，粒子的史瓦西半徑與質量成正比；另一種是量子力學關係，粒子的康普頓波長與質量成反比。
大致而言，康普頓波長是量子效應開始變得重要時的系統長度尺寸，粒子質量越大，則康普頓波長越短。史瓦西半徑是粒子變為黑洞時的其所有質量被拘束在內的圓球半徑，粒子越重，史瓦西半徑越大。當粒子的康普頓波長大約等於史瓦西半徑時，粒子的質量大約為普朗克質量，粒子的運動行為會強烈地受到量子引力影響。
普朗克質量為
kg，超大於所有已知基本粒子的質量；普朗克長度為
m，超小於核子尺寸。從理論而言，質量大於普朗克質量的物體是否擁有德布羅意波長這個問題不很清楚；從實驗而言，是無法達到的。這物體的康普頓波長會小於普朗克長度和史瓦茲半徑，在這尺寸，當今物理理論可能會失效，可能需要更廣義理論替代。
2009年，伊夫·庫德（Yves Couder）發布論文表示，巨觀油滴彈跳于振動表面可以用來模擬波粒二象性，毫米尺寸的油滴會生成周期性波動，對於這些油滴的相互作用會引起類量子現象，例如，雙縫干涉、,不可預料的隧穿、軌道量子化、塞曼效應等等。
理論概述
在經典力學裡，研究對象總是被明確區分為“純”粒子和“純”波動。前者組成了我們常說的“物質”，後者的典型例子則是光波。波粒二象性解決了這個“純”粒子和“純”波動的困擾。它提供了一個理論框架，使得任何物質有時能夠表現出粒子性質，有時又能夠表現出波動性質。量子力學認為自然界所有的粒子，如光子、電子或是原子，都能用一個微分方程，如薛丁格方程來描述。這個方程的解即為波函式，它描述了粒子的狀態。波函式具有疊加性，它們能夠像波一樣互相干涉。同時，波函式也被解釋為描述粒子出現在特定位置的機率幅。這樣，粒子性和波動性就統一在同一個解釋中。
之所以在日常生活中觀察不到物體的波動性，是因為他們皆質量太大，導致德布羅意波長比可觀察的極限尺寸要小很多，因此可能發生波動性質的尺寸在日常生活經驗範圍之外。這也是為什麼經典力學能夠令人滿意地解釋“自然現象”。反之，對於基本粒子來說，它們的質量和尺寸局限於量子力學所描述的範圍之內，因而與人們所習慣的圖景相差甚遠。
發展簡史
之所以在日常生活中觀察不到物體的波動性，是因為他們的質量太大，導致特徵波長比可觀察的限度要小很多，因此可能發生波動性質的尺度在日常生活經驗範圍之外。這也是為什麼經典力學能夠令人滿意地解釋“自然現象”。反之，對於基本粒子來說，它們的質量和尺度決定了它們的行為主要是由量子力學所描述的，因而與我們所習慣的圖景相差甚遠。
1800年，托馬斯·楊發表了《在聲和光方面的實驗與問題》的論文，認為光與聲都是波，光是以太介質中傳播的縱振動，不同顏色的光與不同頻率的聲音是相類似的。他在分析了水波的疊加現象之後說，在聲波疊加的情況下，可以產生的加強和減弱，出現複合聲調和拍頻。尤其重要的是，他提出了“干涉”的概念。
1801年，他在英國皇家學會上宣讀了關於薄膜色的論文。論文進一步擴充和發展了惠更斯的波動說，明確地提出了光具有頻率和波長，完善了光波的概念。他比較圓滿地解釋了牛頓環的干涉現象，認為“當有不同起源的兩個振動運動或者完全相同，或者在方向很接近時，那么它們的共同作用等於它們每一個振動單獨所發生的作用之和。”這在實際上已經提出了光的相干條件及干涉原理。
這一年，他在發表於《哲學會報》上的論文中，全面地闡述了干涉原理：“同一束光的兩不同部分以不同的路徑，要么完全一樣地、要么在方向上十分接近地進入眼睛，在光線的路程差是某個長度的整數倍的地方，光就被加強，而在干涉區域中間狀態，光將最強；對於不同顏色的光束來說，這個長度是不同的。”
1802年，托馬斯·楊在英國皇家學會講演時，引用自己所做的雙孔（雙縫）干涉實驗。他說：“為使這兩部分光在螢幕上引起的效果疊加起來，需要使來自同一光源、經過不同路徑的光到達同一區域，而不使其相離散，如有離散，也能根據回折、反射或折射把光從一方或從兩方重合起來，將它們的效果疊加。但是，最簡單的辦法是將平行光通過兩個相距很近的針孔。針孔作為新的光源，從那裡發出了球面光波，照射到螢幕上，光的暗影對稱地向兩側散開。然而，螢幕與小孔的距離越遠，從小孔射來的光就越按相同的角度延伸與擴張。同時，小孔間的距離越近，從它們射出的光就越按比例擴張，這兩部分光疊合後，在螢幕上正對兩小孔連線的中心處最明亮。兩側部分，光從兩個小孔到達各點有一定的路程差，若路程差是光波波長的1倍、2倍、3倍……，路程差是光波波長1/2，3/2，5/2倍則螢幕上的這些地方為亮區，並且相鄰的亮區間的距離相等。另一方 的地方。”這就是著名的楊氏雙孔雙縫實驗。
雙縫實驗
托馬斯·楊用紅光照射雙孔，觀察通過雙孔後的光在螢幕上形成的光帶。他遮住一個針孔時，屏上只有一個紅的光強均勻的光點；當兩個孔均不遮掩時，屏上兩個光點重合區出現了紅黑交替的光帶，紅帶相當明亮，其寬度相等，同時，各黑帶的寬度也相等，並且等於紅帶的寬度。
根據各種實驗比較，組成極端紅光的波長，在空氣中應為1/36000英寸，極端紫光應為1/60000英寸，準確測得的可見光的波長。在光學發展史中是具有劃時代意義的。
托馬斯·楊還將干涉原理套用於解釋衍射現象。1803年11月24日，他在講演中提到了光的干涉的一般法則的實驗驗證。對隨著影子出現的有色邊緣進行若干次實驗，便發現關於光的兩部分的一般法則，有色邊緣是根據兩部分光的干涉形成的。
第一個實驗將木板套窗打開一個孔，在上面糊上一張厚紙，在厚紙上用針尖鑽個孔，為了觀察方便起見，在木板套窗外的一個適當位置放一個小鏡子，從那裡反射的太陽光按水平方向射到對面的牆壁上，並且將1/30英寸細長紙片插入太陽光中觀察。映在牆壁上或放在各種不同距離上的其它厚紙的影子，除了陰影的兩側邊緣之外，那一影子的自身也同樣被平行的邊緣所分割，其邊緣非常細，它的數值隨觀察影子的距離而異，影子的中心部分總是呈白色。這些邊緣是通過細紙片的每個側面的光的兩部分合成的結果，並且與其說是折射不如說是衍射。
第二個實驗是有直角的交接處的物體形成影子的時候，在通常的外部邊緣上，可以看到增加兩三種顏色的變化。這些，從角的平分線開始向兩側排列，向著角平分線以凸狀彎曲著。並且離角平分線越遠越細。這些邊緣也是在物體兩側對影子方向直接彎曲的光疊加的結果。
托馬斯·楊的實驗一是細竿衍射，實驗二是角衍射。1883年當古伊與1885年維恩在光以大角度斜射時，直接觀察到了邊界波；托馬斯·楊關於衍射中邊界波的觀念得到了證實。
托馬斯·楊對光的本性又作了進一步的爭辯，他說：“固執於牛頓的光的理論或現代光學專家的不太普遍的假說的人們，最好是對任何事物都要從他的自身的原理出發，提出實驗的說明。並且，如果他的這種努力失敗的話，他應該承認這些事實，至少應該停止目的在於反對這些事實及其所遵循的理論體系而發表的演講。”
從上述實驗或計算可以推論，平行光在傳播方向上的一定距離處，具有相反的性質，在疊加時，互相中和或互相抵消，光也就消失了。而且，還可以推論，這些性質對通過同一介質的相干光來說，在離相干光源為某距離的連續的同心面上交替變化。由測定的一致性與同類現象的相似性，可以下結論說，這些間隔同薄膜彩色條紋的排列形式有關係。當然，光在密的介質中比在疏的介質中進行得更緩慢。而它同時也說明，這不是折射朝向密的介質的引力的結果。支持光的粒子說的人們，必須判斷這一理由的關鍵，即哪一方面最弱這一點。但我們知道，聲音在同心的球面上擴大，樂音互相中和，根據音的不同，由在不同的某一等間隔中，相繼而起的相反性質所形成。所以得出聲音同光的性質之間有非常相似的結論，也是完全可以的。
托馬斯·楊還用光由光疏介質射向光密介質界面時，反射光產生半波損失的觀點，補充了他對薄膜的彩色條紋的解釋。
他在解釋光的偏振時，遇到了特殊的困難。這是由於馬呂斯和布儒斯特在光的偏振方面取得重大研究成果後，頑固堅持牛頓的微粒說造成的。本來，偏振現象是橫波的特性，對偏振現象研究越深入就越有利於光的波動理論。這時，只要將惠更斯與托馬斯·楊的“縱波”改成“橫波”，那么其它問題就迎刃而解了。但是，馬呂斯和布儒斯特在波動理論尚未做出這一改變之前，強烈的反對波動理論。托馬斯·楊沒有隱匿困難，更沒有被困難所嚇倒，1811年，他在給馬呂斯的信中說：“你的實驗證明了我所採用的理論不足，但是這些實驗並沒有證明它是錯的”，六年後，他覺察到，若將聲波看成與水波類似的橫波，那么這個困難就可以得到較好的解決。1817年1月12日，他在寫給阿拉果的信中說：“根據這個學說的原理，所有波都象聲波一樣是通過均勻介質以同心球面單獨傳播，在徑向方向上只有粒子的前進或後退運動，以及伴隨它們的凝聚與稀疏。顯然波動說可以解釋橫向振動也在徑向方向上以相等速度傳播，但粒子的運動是在相對於徑向的某個恆定方向上，而這就是偏振。”這樣，托馬斯·楊根據波動理論對偏振現象作了最初的解釋。其後，菲涅耳與阿拉果更充分地驗證並解釋了它。
不過在二十世紀來臨之時，這些觀點面臨了一些挑戰。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦對於光電效套用光子的概念來解釋，物理學者開始意識到光波具有波動和粒子的雙重性質。1924年，路易·德布羅意提出“物質波”假說，他主張，“一切物質”都具有波粒二象性，即具有波動和粒子的雙重性質。根據德布羅意假說，電子是應該會具有干涉和衍射等波動現象。1927年，柯林頓·戴維森與雷斯特·革末設計與完成的戴維森-革末實驗成功證實了德布羅意假說。
早期理論
惠更斯和牛頓的早期光理論
最早的綜合光理論是由克里斯蒂安·惠更斯所發展的，他提出了一個光的波動理論，解釋了光波如何形成波前，直線傳播。該理論也能很好地解釋折射現象。但是，該理論在另一些方面遇見了困難。因而它很快就被艾薩克·牛頓的粒子理論所超越。牛頓認為光是由微小粒子所組成，這樣他能夠很自然地解釋反射現象。並且，他也能稍顯麻煩地解釋透鏡的折射現象，以及通過三稜鏡將陽光分解為彩虹。
費涅爾、麥克斯韋和楊光理論
十九世紀早期由托馬斯·楊和奧古斯丁·讓·費涅爾所演示的雙縫干涉實驗為惠更斯的理論提供了實驗依據：這些實驗顯示，當光穿過格線時，可以觀察到一個干涉樣式，與水波的干涉行為十分相似。並且，通過這些樣式可以計算出光的波長。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在世紀末葉給出了一組方程，揭示了電磁波的性質。而方程得到的結果，電磁波的傳播速度就是光速，這使得光是一種電磁波的解釋被人廣泛接受，而惠更斯的理論也得到了重新認可。
實驗驗證
愛因斯坦的光電效應理論
在光電效應中，人們觀察到將一束光線照射在某些金屬上會在電路中產生一定的電流。可以推斷是光將金屬中的電子打出，使得它們流動。然而，人們同時觀察到，對於某些材料，即使一束微弱的藍光也能產生電流，但是無論多么強的紅光都無法在其中引出電流。根據波動理論，光強對應於它所攜帶的能量，因而強光一定能提供更強的能量將電子擊出。然而事實與預期的恰巧相反。
愛因斯坦將其解釋為量子化效應：金屬被光子擊出電子，每一個光子都帶有一部分能量E，這份能量對應於光的頻率ν：E=hν，這裡h是普朗克常數（6.626 x 10 J s）。光束的顏色決定於光子的頻率，而光強則決定於光子的數量。由於量子化效應，每個電子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高頻率的光子（藍光，而非紅光）才有能力將電子擊出。
愛因斯坦因為他的光電效應理論獲得了1921年諾貝爾物理學獎。
實物粒子的波粒二象性
愛因斯坦提出光的粒子性後，路易·維克多·德布羅意做了逆向思考，他在論文中寫到：19世紀以來，只注重了光的波動性的研究，而忽略了粒子性的研究，在實物粒子的研究方面，是否犯了相反的錯誤呢？1924年，他又注意到原子中電子的穩定運動需要引入整數來描寫，與物理學中其他涉及整數的現象如干涉和振動簡正模式之間的類似性，由此構造了德布羅意假設，提出正如光具有波粒二象性一樣，實物粒子也具有波粒二象性。他將這個波長λ和動量p聯繫為：λ=h/p=h/mv；其中m為微粒（如電子）的質量，v為微粒的速度，h：普朗克常數。
這是對愛因斯坦等式的一般化，因為光子的動量為p = E / c（c為真空中的光速），而λ = c / ν。
德布羅意的方程三年後通過兩個獨立的電子散射實驗被證實。在貝爾實驗室Clinton Joseph Davisson和Lester Halbert Germer以低速電子束射向鎳單晶獲得電子經單晶衍射，測得電子的波長與德布羅意公式一致。在阿伯丁大學，G.P湯姆孫以高速電子穿過多晶金屬箔獲得類似X射線在多晶上產生的衍射花紋，確鑿證實了電子的波動性；以後又有其他實驗觀測到氦原子、氫分子以及中子的衍射現象，微觀粒子的波動性已被廣泛地證實。根據微觀粒子波動性發展起來的電子顯微鏡、電子衍射技術和中子衍射技術已成為探測物質微觀結構和晶體結構分析的有力手段。
定律定義
由於E=hv，這光照射到原子上，其中電子吸收一份能量，從而克服逸出功，逃出原子。電子所具有的動能Ek=hv-W0，W0為電子逃出原子所需的逸出功。這就是愛因斯坦的光電效應方程。
h稱為普朗克常數，用以描述量子大小。在量子力學中占有重要的角色，馬克斯·普朗克在1900年研究物體熱輻射的規律時發現，只有假定電磁波的發射和吸收不是連續的，而是一份一份地進行的，計算的結果才能和試驗結果是相符。這樣的一份能量叫做能量子，每一份能量子等於普朗克常數乘以輻射電磁波的頻率。
數值約為：h=6.6260693(11)×10 J·s。經化簡為：h=6.63×10J·s。
若以電子伏特(eV)·秒(s)為能量單位則為h=4.13566743(35)×10 eV·s
普朗克常數的物理單位為能量乘上時間，也可視為動量乘上位移量：{牛頓(N)·米(m)·秒(s)}為角動量單位由於計算角動量時要常用到h/2π這個數，為避免反覆寫 2π 這個數，因此引用另一個常用的量為約化普朗克常數（reduced Planck constant)，有時稱為狄拉克常數(Dirac constant)，紀念保羅·狄拉克：h(這個h上有一條斜槓)=h/2π約化普朗克常量（又稱合理化普朗克常量）是角動量的最小衡量單位。其中 π 為圓周率， h(這個h上有一條斜槓)念為 "h-bar" 。普朗克常數用以描述量子化，微觀下的粒子，例如電子及光子，在一確定的物理性質下具有一連續範圍內的可能數值。例如，一束具有固定頻率 ν 的光，其能量 E 可為：有時使用角頻率 ω=2πν ：許多物理量可以量子化。譬如角動量量子化。 J 為一個具有旋轉不變數的系統全部的角動量， Jz 為沿某特定方向上所測得的角動量。其值：因此， 可稱為 "角動量量子"。
機率波
光和微觀粒子的波粒二象性如何統一的問題是人類認識史上最令人困惑的問題 ，至今不能說問題已經完全解決。盧瑟福的α粒子散射實驗證明物質的結構是核式的（這種模型被稱為核式結構模型），原子如此，光子、電子、質子、大到天體都有自己的核心，都有繞核心運動的物質存在，每個核式結構體在運動中由於核式結構的特點，都做具有波動的直線運動，都有測不準的因素（不確定性原理）存在，都有量子化的物理特徵，各有能級的存在，各有特定的能量吸收才可以發生躍遷。1926年M.玻恩提出機率波解釋，較好地解決了這個問題。按照機率波解釋，描述粒子波動性所用的波函式Ψ(x、y、z、t)是機率波，而不是什麼具體的物質波；波函式的絕對值的平方|ψ|=ψ*ψ表示時刻t在x、y、z處出現的粒子的機率密度，ψ*表示ψ 的共軛波函式。在電子通過雙孔的干涉實驗中，|ψ|=|ψ1+ψ2|=|ψ1|+|ψ2|+ψ1*ψ2+ψ1ψ2*，強度|ψ|2大的地方出現粒子的機率大 ，相應的粒子數多，強度弱的地方，|ψ|小 ，出現粒子的機率小，相應的粒子數少，ψ1*ψ2+ψ1ψ2*正是反映干涉效應的項，不管實驗是在粒子流強度大的條件下做的，還是粒子流很弱，讓粒子一個一個地射入，多次重複實驗，兩者所得的干涉條紋結果是相同的。
在粒子流很弱、粒子一個一個地射入多次重複實驗中顯示的干涉效應表明，微觀粒子的波動性不是大量粒子聚集的性質，單個粒子即具有波動性。於是，一方面粒子是不可分割的，另一方面在雙孔實驗中雙孔又是同時起作用的，因此，對於微觀粒子談論它的運動軌道是沒有意義的。
由於微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵從的運動規律不同於巨觀物體的運動規律，描述微觀粒子運動規律的量子力學也就不同於描述巨觀物體運動規律的經典力學。
基本方程
薛丁格提出的量子力學基本方程 。建立於 1926年。它是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律，它在量子力學中的地位相當於牛頓定律對於經典力學一樣，是量子力學的基本假設之一。設描述微觀粒子狀態的波函式為Ψ（r，t），質量為m的微觀粒子在勢場U（r，t）中運動的薛丁格方程為。在給定初始條件和邊界條件以及波函式所滿足的單值、有限、連續的條件下，可解出波函式Ψ（r，t）。由此可計算粒子的分布機率和任何可能實驗的平均值（期望值）。當勢函式U不依賴於時間t時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態稱為定態。定態時的波函式可寫成式中Ψ（r）稱為定態波函式，滿足定態薛丁格方程，這一方程在數學上稱為本徵方程，式中E為本徵值，是定態能量，Ψ（r）又稱為屬於本徵值E的本徵函式。
