基本介紹
定義,性質,判定,角平分線定義,角平分線性質,作法,內心,
定義
1.從一個角的頂點引出一條射線（線在角內），把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線(bisector of angle)。
2.角平分線是在角的型內及形上，到角兩邊距離相等的點的軌跡。
性質
1.角平分線分得的兩個角相等，都等於該角的一半。（定義）
2·角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
判定
角的內部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上。
因此根據直線公理。
證明：如圖，已知PD⊥OA於D，PE⊥OB於E，且PD=PE，求證：OC平分∠AOB
證明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
角平分線定義
在三角形中的定義。
三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連結這個角的頂點和與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線（也叫三角形的內角平分線）。 由定義可知，三角形的角平分線是一條線段。 由於三角形有三個內角，所以三角形有三條角平分線。三角形的角平分線交點一定在三角形內部。
角平分線性質
在三角形中的性質。
1.三角形的三條角平分線交於一點，且到各邊的距離相等.這個點稱為內心 (即以此點為圓心可以在三角形內部畫一個內切圓)。
2.三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。
如圖，若AD是△ABC的角平分線，則 BD/DC=AB/AC 。
證明：作CE∥AD交BA延長線於E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
作法
角平分線作法方法一：1.以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角AOB兩邊 於點M，N。
2.分別以點M，N為圓心，以大於1/2MN的長度為半徑畫弧， 兩弧交於點P。
3.作射線OP。
射線OP即為所求。
證明：連線PM,PN
