基本介紹
- 中文名：正多面體
- 外文名：regular polyhedron
- 別稱：Plato體
- 定義：各個面都是全等的正多邊形
- 種類：五種
- 所屬學科：數學
簡介,種類,性質,
簡介
所謂正多面體，當然要首先保證它是一個多面體，而它的特殊之處就在於它的每一個面都是正多邊形，而且各個面的正多邊形都是全等的。也就是說，將正多面體的各個面剪下來，它們可以完全重合。雖然多面體的家族很龐大．可是正多面體的成員卻很少，僅有五個。
這幾個正多面體分別是由什麼組成的呢?
正四面體是由四個全等的等邊三角形組成的；正六面體是由六個全等的正方形組成的；正八面體是由八個全等的等邊三角形組成的；正十二面體是由十二個全等的正五邊形組成的；正二十面體是由二十個全等的等邊三角形組成的。
正多面體的各種參數如下表所示。
類型 | 面數 | 棱數 | 頂點數 | 每面邊數 | 每頂點棱數 |
正4面體 | 4 | 6 | 4 | 3 | 3 |
正6面體 | 6 | 12 | 8 | 4 | 3 |
正8面體 | 8 | 12 | 6 | 3 | 4 |
正12面體 | 12 | 30 | 20 | 5 | 3 |
正20面體 | 20 | 30 | 12 | 3 | 5 |
種類
只有五種多面體是正多面體。
證明如下：設正多面體每個頂點有m條棱，每個面都是正n邊形，多面體的頂點數是V，面數是F，棱數是E。因為兩個相鄰面有一公共棱，所以
因為兩個相鄰頂點有一公共棱，所以
又因多面體的Euler定理，得V+F-E=2，從上面三式可得
於是n<6。
當n=3時，m<6，所以m能取的值是3、4、5；
當n=4時，m<4，所以m能取的值是3；
當n=5時，m<10/3，所以m能取的值是3。
當n=3，m=3時，V=4，F=4，E=6；當n=3，m=4時，V=6，F=8，E=12；當n=3，m=5時，V=12，F=20，E=30；當n=4，m=3時，V=8，F=6，E=12；當n=5，m=3時，V=20，F=12，E=30；所以正多面體只有上述五種。
性質
由正多面體可得到如下幾何性質：
1.如果兩個正多面體是同類型的正多面體，那么這兩個正多面體的二面角都相。
2.正多面體的外接球、內切球、內棱切球都存在，並且三球球心重合。
3.正多面體的外心、內心、內棱心重合的點稱為該正多面體的中心。
4.正多面體除正四面體外過任頂點和正多面體中心的直線必然經過正多面體的另一頂點，並且這兩個頂點到正多面體中心的距離都相等。
5.除正四面體外，連線經過正多面體的f11心的兩點稱為相財頂點，連兩雙相對頂點的兩條棱稱為正多面體的對棱，由對棱圍成的兩個面稱為正多面體的對面。
6.除正四面體外，正多面體的對棱、對面都平行。
