基本介紹
- 中文名：七面體
- 外文名：heptahedron
- 學科：數學
- 數學：多面體
- 釋義：由7個面組成的多面體
- 常見的七面體：六角錐、五角柱、正三角錐柱等
常見的七面體,六角錐,五角柱,正三角錐柱,Szilassi多面體,不存在正七面體,將七面體展開需剪幾刀,
常見的七面體
六角錐
如圖1所示，六角錐是指底面為六邊形的錐體，由六邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次連直線段而構成。所有六角錐皆為七面體。
圖1 六角錐
圖1 六角錐（1）六角錐有7個面、12個邊和7個頂點；
（2）如同其他的錐體，對偶仍為六角錐，是一個自身對偶多面體；
（3）六角錐有6個側面，均為三角形；1個底面，為六邊形；
（4）六角錐是凸多面體；
（5）六角錐的歐拉特徵數為：F=7，E=12，V=7（X=2）。
五角柱
如圖2所示，五角柱是一種多面體，是柱體的一種，是指底面是五邊形的柱體。當它底面是正五邊形時，則稱為正五角柱，若一正五角柱側面是正方形，則他就屬於半正多面體或均勻多面體，因此有時稱為半正七面體。所有五角柱都是七面體。
圖2
圖2（1）五角柱有7個面15個邊和10個頂點；
（2）五角柱的歐拉特徵數為：F=7，E=15，V=10（X=2）；
（3）五角柱有2個底面，均為五邊形；有5個側面，均為四邊形；
（4）五角柱的對偶是雙五角錐；
（5）五角柱用威廉表示法可表示為：P5；
（6）五角柱是凸多面體。
正三角錐柱
正三角錐柱為92種Johnson多面體(J7)中的其中一個，可由正多面體中的正四面體（正三角錐）與三角柱於相等大小的三角形面接合而組成。這92種Johnson立體最早在1996年由Johnson Norman命名並給予描述。
圖3 正三角錐柱
圖3 正三角錐柱Johnson多面體，有譯作詹森多面體或莊遜多面體，是指正多面體、半正多面體、柱體、反角柱之外，所有由正多邊形面組成的凸多面體。他由4個三角形和3個正方形組成。
如圖3所示，正三角錐柱具有如下性質：
（1）正三角錐柱有7個面、12條邊、7個頂點；
（2）正三角錐柱由4個正三角形和3個正方形組成。
（3）正三角錐柱是凸多面體。
Szilassi多面體
如圖4所示，Szilassi多面體是一種凹多面體，是七面體的一種，拓撲結構的環，有7個六邊形面，中有六個面是凹六邊形。Szilassi多面體每個面都與相鄰的面共用邊。因此，可用七種顏色來塗滿每個相鄰的面，是七色定理的下限。它有一個180度的對稱軸；它有3組面全等並留下一個未成對六邊形而構成的多面體。Szilassi多面體的14個頂點和21個邊在一個環面嵌入Heawood graph的四面體和Szilassi的多面體是目前已知的兩個每個面都與其他面共邊的多面體。
圖4 Szilassi多面體
圖4 Szilassi多面體不存在正七面體
證明：假設存在正7面體，正7面體的每個面都是正m邊形，正7面體的每個頂點連出n條棱（亦即n個面交於同一頂點），顯然,n<7。那么，該多面體的面數F=7（定義）。因為兩個面交於一棱，所以棱數E=7m/2。因為n條棱交於一頂點，所以頂點數V=2E/n=7m/n。根據歐拉公式，V+F-E=2，所以7m/n+7-7m/2=2。兩邊同乘以2n併合並同類項，得到10n=7mn-14m。因為等號右邊能被7整除，所以等號左邊一定能被7整除，從而n=0或7（或7的其它倍數），而這都是矛盾的。
因此，正7面體不存在。
將七面體展開需剪幾刀
問題：將一個七面體沿著它的棱剪開，至少需要剪幾刀，才可以將它展開成一個平面圖形？
圖5
圖5從正方體入手，我們知道，正方體一共有6個面，12條棱，將它展開成平面圖形後，如果6個面相連，那么共有5條棱連線6個面，另外7條棱必須全部剪開，所以至少要剪7刀。由此，可以將之推廣到一般情況：一個多面體，如果有n個面，m條棱，那么將它展開成平面圖形，至少要剪[m- (n- 1)]刀。要將七面體展開成平面圖形，所剪的刀數與總棱數有關，只要用總棱數減去6就得到所要剪的刀數，所以總棱數不同的多面體，展開成平面圖形，所需剪的刀數不同。
從正方體入手來考慮，將正方體截去一個角，可以得到七面體，不同的截法所得七面體的棱數不同。下面的幾種截法中棱數都不一樣，總棱數分別是12（如圖 5）、13（如圖 6）、14（如圖 7）、15（如圖 8），展開成平面圖形分別需要剪6、7、8、9刀。
圖6
圖6.
圖7
圖8