對偶正多面體

基本介紹

正多面體是凸多面體，其各面皆系全等正多邊形，且所有多面角均相等，正多面體中每一個頂點通過的棱數是相同的。

歐幾里德證明，僅存在有五種正多面體：正四面體(圖1)、正六面休或正方體(圖2)、正八面體(圖3)、正十二面體(圖4)和正二十面體(圖5)。每一種正多面體都可以利用平面截割正方體的方法得到。所有正多面體，除了正四面體而外，都有對稱中心，所有正多面體都有一個外接球和一個內切球，正四面體與其本身是對偶的；正方體與正八面體是對偶的；正十二面體和正二十面體是對偶的。正多面體的頂點個數等於和它對偶的正多面體的面數。兩對偶正多面體的棱數相同，正多面體各面的中心是其對偶正多面體的頂點。

對於正多面體，且對於零類多面體，歐拉定理成立：

，其中B——頂點數，

——面數，p——多面體的棱數。

五種正多面體

	面的種類	頂點個數	棱個數	圍繞一個頂點的面的個數	面個數
正四面體	正三角形	4	6	3	4
正六面體	正四邊形	8	12	3	6
正八面體	正三角形	6	12	4	8
正十二面體	正五邊形	20	30	3	12
正二十面體	正三角形	12	30	5	20

相關問題

1.我們考察凸多面體，它的頂點是某個正多面體的界面的中心，證明：這個多面體也是正多面體。(它叫做原來多面體的對偶多面體)。

提示當關於原來的多面體的頂點同它的中心連線的直線旋轉時，多面體變作自身，與這個頂點毗鄰的界面的中心變作自身，也就是，它們是正多面體的頂點，類似地，考察關於連線原來的多面體界面的中心同它的中心的直線的旋轉，我們得到對偶多面體的多面角是正的，因為運動能使原來多面體的任意兩個多面角重合，對偶多面體的所有界面相等，又因為原來多面體的任兩個界面能夠重合，對偶多面體的所有多面角相等。

2.a)證明:四面體的對偶多面體是四面體。

b)證明:立方體與八面體彼此對偶。

c)證明:十二面體與二十面體彼此對偶。

提示為了證明只需注意，如果原來多面體在頂點的是m個界面的角和n邊形界面，那么，它的對偶多面體的頂點是n個界面的角和m邊形界面。

3.證明：如果兩個彼此對偶的正多面體的內切球的半徑相等，那么：

a)它們的外接球的半徑相等；b)它們界面的外接圓半徑相等。

提示 a)設O是原來多面體的中心，A是它的一個頂點，B是帶有頂點A的一個界面的中心。我們考察原來的多面體毗鄰頂點A的界面的中心。設C是這個界面的中心，即，這個界面與直線OA的交點，顯然，AB⊥OB和BC⊥ OA，所以OC：OB=OB：OA，即