退化多面體

退化多面體，是一類特殊的多面體。在數學中，退化的情況是一種極限情況，其中一類對象的一個元素在質量上與其餘的類不同，因此屬於另一個通常較簡單的類。許多複合或結構化對象的定義包括（通常是隱含的）不等式。例如，三角形的角度和邊長應該是正的。這些不平等中的一個或幾個變成平等的極限情況是退化。在三角形的情況下，如果至少一邊長度或角度為零，則具有退化三角形。

基本介紹

• 中文名：退化多面體
• 外文名：degenerate polytope
• 學科：數理科學
• 性質：特殊多面體

簡介

退化多面體(degenerate polytope)一類特殊的多面體。即這樣的多面體，有基礎可行解且至少包含一個屬於基的分量為零，或者說，由這個基礎確定的極點有一個坐標值為0。

常見的退化多面體

由於三維空間中的單純形是四面體，面數少於4的多面體都只能成為退化多面體，因此三面體都不能真正具有體積。在球面鑲嵌中，常見的三面體是三面形。亦有一種正抽象多面體是三面體，其為半立方體。

名稱	種類	圖像	符號	頂點	邊	面	χ	面的種類	對稱性
三面形	多面形; 退化多面體		{2,3}	2	3	3	2	3個二角形	D3h, [2,3], (*223), order
立方體半形	射影多面體; 抽象多胞形		{4,3}/2; {4,3}3	4	6	3	1	3個正方形	S4, order 24
圓柱體	非嚴格多面體; 曲面; 柱體			0	2	3	1	1個曲面; 2個圓形

三面形

三面形
(點選觀看旋轉模型)
類別	多面形、均勻多面體、球面鑲嵌
面	3
邊	3
頂點	2
歐拉特徵數	F=3, E=3, V=2 (χ=2)
面的種類	二角形
考克斯特符號
施萊夫利符號	{2,3}
威佐夫符號	2 2
對稱群	D3h, [2,3], (*223), order 12
對偶	三角形二面體
旋轉對稱群	D3, [2,3], (223), order 12
查; 論; 編

儘管面為平面的三面體在三維空間不能存在，但在球面幾何學中，三面體可以以球面鑲嵌的方式存在，最簡單的例子是三面形。一個正三面形，表示三個鑲嵌在球體上的球弓形，施萊夫利符號中利用{2,3}來表示，其對偶多面體是三角形二面體。

性質

三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由3個二角形組成，每個頂點都是3個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論。

三面形具有 D_3h, [2,3], (*223) 的對稱性和 D₃, [2,3]的旋轉對稱性，且階數為12，在考克斯特符號中用表示。

圓柱

主條目：圓柱

圓柱也能算是一種非嚴格的三面體，因為它可以看做是只有三個面的幾何體，由一曲面（側面）和兩個圓形平面（底面）所組成。

三胞體

三胞體是指有三個胞或維面的多胞體。其為三面體在四維或更高維度的類比，但由於四維空間的單純形是五胞體，任何面數邊樹或頂點數小於單純形的圖形都只能退化或成為球面鑲嵌，即無法具有非零的體積。