表頭設計就是把試驗因素合理地安排到所選正交表的各列。在某些實驗中，不僅因素自身對實驗結果產生影響，而且因素之間產生協同作用影響實驗結果，這種協同作用叫作互動作用。表頭設計，就是確定實驗所考慮的因素和互動作用，在正交表中應該放在哪一列的問題。
如果試驗不考慮因素之間的互動作用，各因素位置可任意安排，若試驗因素少於正交表的列數，則會出現空列，通常將空列安排在中間或靠後的列數，空列可作為誤差列，對試驗方案沒有影響；如果考慮因素之間的互動作用，先安排具有互動作用的因素，嚴格按互動作用列表的規定進行表頭設計，要儘量避免因素間混雜現象的出現。若實驗中所考察的因素的水平數不完全相等，這時候需要採用混合水平正交表安排實驗。
基本介紹
- 中文名：正交表頭設計
- 外文名：head of orthogonal array design
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：統計學（試驗設計）
- 相關概念：正交表，正交實驗設計，混雜設計
基本介紹,表頭設計的一般原則,相關概念,裂區設計,混雜設計,不同情況的正交表設計,套用舉例,
基本介紹
設計 | A | B | A×B | C | A×C | B×C | A×B×C |
列號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
安排四個二水平因子A，B，C，D的正交試驗可採用如下表頭設計：
設計 | A | B | A×B C×D | C | A×C B×C | B×C A×D | D |
列號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
第一個表頭設計，考慮了全部互動作用，實際上是全面試驗；第二個表頭設計安排了全部一階(兩因子)互動 作用，忽略了全部二階(三因子)和三階(四因子)互動作用。由於一階互動作用兩兩混雜，故該設計只能分析主因子效應，還可以按需要和表的可能設計其他表頭。
表頭設計的一般原則
表頭設計的一般原則是：
- 如果已知不存在互動作用，則主因子可以各任意排在一列；
- 如果互動作 用顯著，則互動因子也要占據一定列：兩個m水平因 子的互動作用占m-1列，而且在二主因子排定後，其 互動因子所占列就由正交表的結構完全決定了 (查閱 編制好的正交表列間的互動作用列表)，不能任意安排；
- 可利用部分或全部混雜技術(見“混雜設計”)；
- 為估計試驗誤差有時應安排一個或若干個空白列作為誤差因子列。
相關概念
裂區設計
裂區設計亦稱分割設計。把因子按試驗重複的難易程度分為(一級、二級……等)若干級別，並按級別依次安排試驗先後順序的一種試驗設計方法。其基本原則是，使重複試驗難度較大的因子較少重複試驗， 使重複試驗較易的因子較多重複試驗。用正交表安排裂區試驗，稱做“正交裂區試驗設計”，它利用正交表 (按其結構) 的分組來實現。 正交表列組是正交表的列按其水平排列劃分的組。下面是幾種正交表中列的分組。
L8(27) | 列號 | 1 | 2 3 | 4-7 | ||
分組 | 1 | 2 | 3 | |||
L16(215) | 列號 | 1 | 2 3 | 4-7 | 8-15 | |
分組 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
L32(231) | 列號 | 1 | 2 3 | 4-7 | 8-15 | 16-31 |
分組 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
L9(34) | 列號 | 1 | 2-4 | |||
分組 | 1 | 2 | ||||
L27(313) | 列號 | 1 | 2-4 | 5-13 | ||
分組 | 1 | 2 | 3 |
通過各組中列的水平的對應關係，可以說明將列劃分為組的原則和方法。以L32(215)為例： 第一組只含第 1列，其水平“1”和“2”各連續重複16次，它們各自分別對應著第二組(含第2，3兩列)每列連續8個“1” 和連續8個“2”，第二組中每列的每個連續8個“1”(或 連續8個“2”)又對應著第三組 (含第4—7列)每列的每個連續4個“1”和連續4個“2”……依此類推。正交表的列組用於 (正交) 裂區設計。
混雜設計
混雜設計亦稱混雜法。利用或避免混雜現象的試驗設計方法。正交設計中，兩個或兩個以上因子(包括互動因子)出現在一列的現象，稱做“混雜”。混雜會影響試驗結果的正確分析，應該加以避免，方法是選擇較大的正交表。利用混雜現象可以在較小的正交表上安排較多的因子，故混雜又是一種技巧：1．部分混雜，即在保證主要因子(包括部分互動網子)不混雜的情形，允許次要因子混雜，以減少工作量；2．全部混雜，即選用較小正交表，允許全部列或大部列出現混雜，多用對情況掌握較少的初試階段。混雜設計亦可用於各種不完全區組設計。
不同情況的正交表設計
①若實驗不考慮互動作用，則表頭設計可以是任意的。
②若實驗中所考察的因素的水平數不完全相等，這時候需要採用混合水平正交表安排實驗。
例1 為了開發一種礦渣水泥，需要找出一個最佳的成分配比，實驗的影響因素如下，其中有1個4水平的因素，3個2水平的因素，這樣可以選擇L8(4×2 4)的正交表。
因素 | 水平1 | 水平2 | 水平3 | 水平4 |
Na2SO4 | 5g | 7 g | 9 g | 11 g |
礦渣 | 200 g | 300 g | ||
CaO | 20 g | 30 g | ||
水泥熟料 | 10 g | 20 g |
③若實驗所考察的因素之間有互動作用時，表頭設計則必須嚴格地按照互動作用正交表表頭設計。
例2 在合成橡膠生產中，催化劑用量和聚合反應溫度是對轉化率有重要影響的兩個因素，判別這兩個因素是否有互動作用，基本方法是按下表所示的二元表，做四次實驗，而後畫出分析圖(圖1)進行判斷。
轉化率y/% | 聚合反應溫度A/℃ | ||
A1(30) | A2(50) | ||
催化劑用量B/mL | B1(2) | 87．6 | 75．5 |
B2(4) | 84．8 | 96．2 | |
圖1催化劑與聚合反應溫度互動作用圖由圖1可以看出轉化率隨催化劑用量的變化規律，因聚合反應溫度的不同而差異很大。在聚合反應溫度為30℃時，轉化率隨催化劑用量的增大而減少；在聚合反應溫度為50℃時，轉化率卻隨催化劑用量的增大而增大。兩直線在圖中相交，說明兩因素之間有互動作用，如果兩因素之間沒有互動作用，則出現在圖1中的兩條直線應該是互相平行的。
實驗設計時，要考慮各因素間有無互動作用，這既可從專業本身加以判斷，也可對一定實驗方案下的實驗數據經統計分析來加以確定。有互動作用的正交表表頭設計時，因素的置放要根據一定的規則，應利用有互動作用的表格來設計表頭。
套用舉例
正交裂區設計，就是用正交表(OA)來進行裂區試驗的一種設計方法。
正交裂區設計與一般裂區設計的不同之處，主要在於：
1.正交裂區設計是利用正交表的分組來進行裂區設計的。
2.正交裂區設計既能保證正交設計的均衡搭配與綜合可比性質，又能對所考察的因素區別對待，從而使一些較易實施的因素多做重複，而使實施起來較為困難的因素只做適當重複。
3.在正交裂區設計中，由於某些因素的水平重複次數的減少，造成各因素水平重複次數不一致，使得各因素之間不能完全“一視同仁”。因而在進行方差分析時，其特點是：對不同級的因素，原則上要分別用同級誤差進行顯著性檢驗。
例3 膠粘帶正交裂區試驗(正交試驗設計法，1979)
在製備交聯型丙烯酸酯雙面壓敏膠粘帶工藝中，主要有配製膠液及固化膠帶兩步工序。因為配製膠液周期長，不易重複，而固化膠帶實施比較容易。因此採用裂區設計將試驗處理及因子分別實施到兩道工序。配製膠液成為主區(主試驗單元)，而固化膠帶成為副區(副試驗單元)。由於配製膠液(主區)次數減少，就可大幅度降低試驗費用。
影響配製膠液的5個主因子及水平如下：
A丙烯酸酯單體甲用量：4，5，6；
B丙烯酸酯單體乙用量：10，20，30；
C混合溶劑的配比：30/70，35/65，40/60；
D引發劑用量：0.3，0.4；
E後反應時問(h)：5，8。
影響固化膠帶的4個副因子及水平如下：
F固化劑用量：50%，30%，25%；
G雙面膠粘帶厚度(10-2mm)：10，12，14；
H固化溫度：100℃，110℃，120℃；
J固化時間(min)：3，5，8。
根據以往經驗考慮互動作用AB、AF、AJ、HJ。
表頭設計
1．選擇正交表
例1的9個因子中，有7個是3水平，2個是2水平。考慮採用擬水平設計，選用2水平L32(231)正交表。
2．正交表的群
正交表的列可以被分為若干群。例如L32(231)正交表(表3)共有31列，可分為5群、
列 群 | 1 | 2 3 | 4 5 6 7 | 8 9 10 11 12 13 14 15 | 16-31 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
在32個處理設計中，若進行全面實施試驗，最多可安排5個二水平的因子。第1群的列安排第1因子(如A)，第2群的列安排第2因子及與前面因子的互作(如B、AB)，第3群的列安排第3因子及其互作(如C、AC、BC、ABC)，其餘的以此類推。但在多因子試驗的部分實施中，就需考慮因子安排與各群的關係。
3．正交裂區試驗的表頭設計
在正交裂區設計中需注意以下幾點：(1)低級因子一般安排在低級群。(2)同級因子一般安排在同級群內，不同級因子安排在不同級群內。(3)同級因子的互作一般安排在同級群內，不同級因子互作安排在較高級群內，但需考慮互動作用的混雜。(4)採用擬水平設計時將第1列空閒。
在例3中，按配製膠液、固化膠帶二道工序分為主區及副區後，共有5個主因子及4個副因子。現把5個群分為2級，第1～4群為第1級，安排5個主因子，第5群為第2級，安排4個副因子。在表頭設計中，採用擬水平設計，第1列空閒不用，2~15列為主因子，其中10列及15列為主區誤差列(Ea)，16～31列安排副因子，其中24～27列為副區誤差列(Eb)。由於互作關係，2個副因子的互作HJ被安排到一級群中的第12、13列。
列號 | 1 | 2 3 | 4 5 | 6 7 | 8 9 | 10 | 11 | 12 13 | |
因子 | A | B | AB | C | Ea | D | HJ | ||
列號 | 14 | 15 | 16 17 | 18 19 | 20 21 | 22 23 | 24-27 | 28 29 | 30 31 |
因子 | E | Ea | H | G | F | AF | Eb | J | AJ |
