正交定理

群表示是處理分子振動、價鍵理論和晶體場理論問題中的一種強有力工具。正交定理是構成群的不可約表示矩陣元的一個基本定理。這個定理揭示出用群來描述一個系統的結構細節。

基本介紹

• 中文名：正交定理
• 外文名：orthogonality theorem
• 定義：構成群的不可約表示矩陣元
• 套用學科：量子力學術語
• 範疇：理工科
• 涉及：群

概念

群表示是處理分子振動、價鍵理論和晶體場理論問題中的一種強有力工具。正交定理是構成群的不可約表示矩陣元的一個基本定理。這個定理揭示出用群來描述一個系統的結構細節。

這個定理指明：如果對於群的每個操作是具有矩陣的兩個不可約表示，那么矩陣元素具有下列方程所描述的關係。

其中為群的階，加和遍及所有的操作。

基本原理

設和是群在矢量空間和中的兩個維和維的不可約表示（代表群的任一元），則有：

式中是群的階，求和對一切群元進行。

證明：為了利用Schur引理，我們先造一個矩陣：

式中代表的任一元。是維的任意矩陣。因此有：

計算中利用了群表定理。求和時固定，對一切進行。

於是按Schur引理有：

（1）若和是相同（或等價）不可約表示，則；

（2）若和是兩個不等價不可約表示，則，將上兩式合寫為。