次導數

次導數、次切線和次微分的概念出現在凸分析，也就是凸函式的研究中。

設f:I→R是一個實變數凸函式，定義在實數軸上的開區間內。這種函式不一定是處處可導的，例如絕對值函式f(x)=|x|。但是，從右面的圖中可以看出（也可以嚴格地證明），對於定義域中的任何x₀，我們總可以作出一條直線，它通過點(x₀, f(x₀))，並且要么接觸f的圖像，要么在它的下方。這條直線的斜率稱為函式的次導數。

基本介紹

• 中文名：次導數
• 外文名：subderivative
• 適用範圍：數理科學

定義

凸函式f:I→R在點x₀的次導數，是實數c使得：，對於所有I內的x。我們可以證明，在點x₀的次導數的集合是一個非空閉區間[a,b]，其中a和b是單側極限，，它們一定存在，且滿足a≤b。所有次導數的集合[a,b]稱為函式f在x₀的次微分。

例子

考慮凸函式f(x)=|x|。在原點的次導數是區間[−1, 1]。x₀<0時，次導數是單元素集合{-1}，而x₀>0，則是單元素集合{1}。

性質

• 凸函式f:I→R在x₀可導，若且唯若次微分只由一個點組成，這個點就是函式在x₀的導數。
  
• 點x₀是凸函式f的最小值，若且唯若次微分中包含零，也就是說，在上面的圖中，我們可以作一條水平的“次切線”。這個性質是“可導函式在極小值的導數是零”的事實的推廣。
  

幾何意義

導數的幾何意義是函式圖像上對應點的切線的斜率；而次導數的幾何意義是函式上圖在對應點的支撐直線（一維支撐超平面）的斜率。

次梯度

次導數和次微分的概念可以推廣到多元函式。如果f:U→R是一個實變數凸函式，定義在歐幾里得空間R內的凸集，則該空間內的向量v稱為函式在點x₀的次梯度，如果對於所有U內的x，都有：，所有次梯度的集合稱為次微分，記為∂f(x₀)。次微分總是非空的凸緊集。