機率極限定理，機率論中的各種極限定理，如大數律、中心極限定理等。
基本介紹
- 中文名：機率極限定理
- 所屬學科：數學
解釋
這些定理描述了由大量隨機因素疊加而造成的隨機現象的規律性。主要研究隨機變數序列的各種收斂性。設{Xn,n≥1}是一個隨機變數序列，X是一個隨機變數。
記Xn和X的分布函式分別為Fn和F。若對F的每一個連續點x，都有Fn(x)＝F(x)，則稱Xn依分布收斂於X。若對任一正數ε，都有P(| Xn－X |≥ε)＝0，則稱Xn依機率收斂於X。若P(Xn＝X )＝1，則稱Xn以機率1收斂（或幾乎必然收斂）於X。設r＞0，若E|Xn－X|r＝0，則稱Xnr階平均收斂於X。在上述常見的收斂性中，以機率1收斂或r階平均收斂可推出依機率收斂，依機率收斂可推出依分布收斂。
以機率1收斂和r階平均收斂不能互推。如果ξn是獨立隨機變數序列{Yn,n≥1}的部分和，那么依分布收斂、依機率收斂和以機率1收斂是等價的。經典的極限理論研究（正則化的）獨立隨機變數序列部分和的各種收斂性。
至20世紀40年代，基本結果已相當完善。在此基礎上，人們進一步研究了（正則化）部分和的密度函式向正態密度函式的收斂問題（局部極限定理）和收斂速度的問題。更進一步的研究則是把許多結果推廣到各種相依序列，如鞅、馬爾可夫鏈、混合相依序列、正或負相依序列以及各類統計量等。
隨機變數序列收斂性的概念可以拓展到取值於一般可測空間的隨機變數序列上去。特別地，對於取值於度量空間(S,d)上的隨機元序列{Xn,n≥1}和隨機元X，其相應的機率測度序列和機率測度記為{μn,n≥1}和μ，稱Xn依分布收斂於X，如果對每一定義在S上的有界連續函式g，都有。
