模運算

“模”是“Mod”的音譯，模運算多套用於程式編寫中。 Mod的含義為求余。模運算在數論和程式設計中都有著廣泛的套用，從奇偶數的判別到素數的判別，從模冪運算到最大公約數的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥著模運算的身影。雖然很多數論教材上對模運算都有一定的介紹，但多數都是以純理論為主，對於模運算在程式設計中的套用涉及不多。

基本介紹

• 中文名：模運算
• 外文名：Mod
• 概述：計算機編寫程式
• 領域：數論和程式設計
• 類型：以純理論為主
• 公式：A Mod B=A-(AdivB) * B 

舉例

11 Mod 2，值為1

上述模運算多用於程式編寫，舉一例來說明模運算的原理：

Turbo Pascal對mod的解釋是這樣的：

A Mod B=A-(AdivB) * B （div含義為整除）

概念及性質

本文以c++語言為載體，對基本的模運算套用進行了分析和程式設計，以理論和實際相結合的方法向大家介紹模運算的基本套用。

基本概念

給定一個正整數 ，任意一個整數 ，一定存在等式 ；

其中 、 是整數，且 ，稱 為 除以 的商， 為 除以 的餘數。

對於正整數和整數 , ，定義如下運算：

取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。

模p加法：(a + b) % p ，其結果是a+b算術和除以p的餘數，也就是說，(a+b) = kp +r，則(a + b) % p = r。

模p減法：(a-b) % p ，其結果是a-b算術差除以p的餘數。

模p乘法：(a * b) % p，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。

說明：

1.同餘式：正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3(在java、C/C++中%是取余，在python是模運算，此處%按取余處理)。

基本性質

（1）若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)

（4）傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)

運算規則

模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p + p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）

結合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * b*c) % p （6）// (a%p*b)%p=(a*b)%p

交換律：

(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理：

若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)； （12）

基本套用

判別奇偶數

奇偶數的判別是模運算最基本的套用，也非常簡單。已知一個整數n對2取模，如果餘數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。

C++實現功能函式：

/*函式名：IsEven函式功能：判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數，否則為奇數輸入值：int n，整數n返回值：bool，若整數n是偶數，返回true，否則返回false*/bool IsEven(int n){    return !(n%2);}

判別素數

一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。例如 2，3，5，7 是質數，而 4，6，8，9 則不是，後者稱為合成數或合數。

判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法：用比該自然數的平方根小的正整數去除這個自然數，若該自然數能被整除，則說明其非素數。

C++實現功能函式：

/*函式名：IsPrime

函式功能：判別自然數n是否為素數。

輸入值：int n，自然數n

返回值：bool，若自然數n是素數，返回true，否則返回false*/

#include<math.h>

bool IsPrime(unsigned n)

{

unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子

for (unsigned i = 2 ; i <= maxFactor ; i++)

{

if (!(n % i)) //n能被i整除，則說明n非素數

return false;

}

return true;

}

最大公約數

求最大公約數最常見的方法是歐幾里德算法（又稱輾轉相除法），其計算原理依賴於定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b

假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公約數

假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公約數

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。

C++實現功能函式：

/*函式功能：利用歐幾里德算法，採用遞歸方式，求兩個自然數的最大公約數

函式名：Gcd

輸入值：

unsigned int a，自然數a

unsigned int b，自然數b

返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數*/

unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)

{

if (b)

return Gcd(b , a % b);

return a;

}

/*函式功能：利用歐幾里德算法，採用疊代方式，求兩個自然數的最大公約數

函式名：Gcd

輸入值：

unsigned int a，自然數a

unsigned int b，自然數b

返回值：

unsigned int，兩個自然數的最大公約數*/

unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)

{

unsigned temp;

while (b)

{

temp = a % b;

a = b;

b = temp;

}

return a;

}

模冪運算

利用模運算的運算規則，我們可以使某些計算得到簡化。例如，我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來，那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555（%10），所以問題就簡化了。

根據運算規則（4）a^b% p = ((a % p)^b) % p ，我們知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由於3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。

根據運算規則（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由於5555 = 4 * 1388 + 3，我們得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）

=（1 * 7）（%10）= 7。

計算完畢。

利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的算法是將result初始化為1，然後重複將result乘以X，每次乘法之後套用%運算符（這樣使得result的值變小，以免溢出），執行N次相乘後，result就是我們要找的答案。

這樣對於較小的N值來說，實現是合理的，但是當N的值很大時，需要計算很長時間，是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的算法。

如果N是偶數，那么X^N =（X*X）^[N/2]；

如果N是奇數，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

其中[N]是指小於或等於N的最大整數。

C++實現功能函式：

/*函式功能：利用模運算規則，採用遞歸方式，計算X^N(% P)

函式名：PowerMod

輸入值：

unsigned int x，底數x

unsigned int n，指數n

unsigned int p，模p

返回值：unsigned int，X^N(% P)的結果*/

unsigned PowerMod(unsigned x , unsigned n , unsigned p)

{

if (!n)

return 1;

unsigned temp = PowerMod((x * x) % p , n >> 1 , p); //遞歸計算（X*X）^[N/2]

if (n & 1) //判斷n的奇偶性

temp = (temp * x) % p;

return temp;

}

孫子問題(中國剩餘定理)

在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”意思是，“一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2.求適合這個條件的最小數。”

這個問題稱為“孫子問題”。關於孫子問題的一般解法，國際上稱為“中國剩餘定理”。

我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。

這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。

根據剩餘定理，可以把此種解法推廣到有n(n為自然數）個除數對應n個餘數，求最小被除數的情況。輸入n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，計算機將輸出最小被除數。

C++實現功能函式：

/*函式名：ResidueTheorem

函式功能：運用剩餘定理，解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，返回最小被除數

輸入值：

unsigned int devisor[]，存儲了n個除數的數組

unsigned int remainder[]，存儲了n個餘數的數組

int length，數組的長度

返回值：

unsigned int， 最小被除數*/

unsigned ResidueTheorem(const unsigned devisor[] , const unsigned remainder[] , int length)

{

unsigned product = 1; //所有除數之乘積

for (int i=0 ; i<length ; i++)//計算所有除數之乘積

product *= devisor[i];//公倍數數組，表示除該元素（除數）之外其他除數的公倍數

unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);

for (int i=0 ; i<length ; i++)//計算除該元素（除數）之外其他除數的公倍數

commonMultiple[i] = product / devisor[i];

unsigned dividend = 0; //被除數，就是函式要返回的值

for (int i=0 ; i<length ; i++)//計算被除數，但此時得到的不是最小被除數

{

unsigned tempMul = commonMultiple[i];//按照剩餘理論計算合適的公倍數，使得tempMul % devisor[i] == 1

while (tempMul % devisor[i] != 1)

tempMul += commonMultiple[i];

dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除數得到的餘數乘以其他除數的公倍數

}

delete []commonMultiple;

return (dividend % product); //返回最小被除數}凱撒密碼

}

凱撒密碼（caeser）是羅馬擴張時期朱利斯o凱撒（Julius Caesar）創造的，用於加密通過信使傳遞的作戰命令。

它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用，z的後面可以看成是a。

例如，當密匙為k = 3，即向後移動3位時，若明文為”How are you!”，則密文為”Krz duh btx!”。

凱撒密碼的加密算法極其簡單。其加密過程如下：

在這裡，可以做一約定：明文記為m，密文記為c，加密變換記為E(key1,m)（其中key1為密鑰），

解密變換記為D(key2,m)（key2為解密密鑰）（在這裡key1=key2,不妨記為key）。

凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換：c≡m+key (mod n） （其中n為基本字元個數）

同樣，解密過程可表示為：m≡c+key (mod n） （其中n為基本字元個數）

C++實現功能函式：

/*函式功能：使用凱撒密碼原理，對明文進行加密，返回密文

函式名：Encrypt

輸入值：

const char proclaimedInWriting[]，存儲了明文的字元串

char cryptograph[]，用來存儲密文的字元串

int keyey，加密密匙，正數表示後移，負數表示前移

返回值：無返回值，但是要將新的密文字元串返回*/

#include<string.h>

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[] , char cryptograph[] , int key)

{

const int NUM = 26; //字母個數

int len = strlen(proclaimedInWriting);

for (int i=0 ; i<len ; i++)

{

if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')//明碼是大寫字母，則密碼也為大寫字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';

else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')//明碼是小寫字母，則密碼也為小寫字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';

else//明碼不是字母，則密碼與明碼相同

cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];

}

cryptograph[len] = '\0';

}

/*函式功能：使用凱撒密碼原理，對密文進行解密，返回明文

函式名：Decode

輸入值：

char proclaimedInWriting[]，用來存儲明文的字元串

const char cryptograph[]，存儲了密文的字元串

int keyey，解密密匙，正數表示前移，負數表示後移（與加密相反）

返回值：無返回值，但是要將新的明文字元串返回*/

#include<string.h>

void Decode(const char cryptograph[] , char proclaimedInWriting[] , int key)

{

const int NUM = 26; //字母個數

int len = strlen(cryptograph);

for (int i=0 ; i<len ; i++)

{

if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')//密碼是大寫字母，則明碼也為大寫字母，為防止出現負數，轉換時要加個NUM

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';

else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')//密碼是小寫字母，則明碼也為小寫字母

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';

else//密碼不是字母，則明碼與密碼相同

proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];

}

proclaimedInWriting[len] = '\0';

}

總結

模運算及其簡單套用差不多就這么多了，其實模運算在數學及計算機領域的套用非常廣泛，這些只是一些最最基本的情形，希望能夠起到一個拋磚引玉的作用，讓更多的人關注模運算，並及其套用到更廣闊的領域中。