極值函式

簡介

極值是變分法的一個基本概念。

泛函在容許函式的一定範圍內取得的最大值或最小值，分別稱為極大值或極小值，統稱為極值。

使泛函達到極值的變元函式稱為極值函式，若它為一元函式，通常稱為極值曲線。

泛函是數學中重要的基本概念，是現代數學的重要研究對象之一，也是數學與其它領域研究與套用的一個重要工具。泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科。

泛函是20世紀30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函式論以及量子物理等的研究中發展起來的，它運用幾何學、代數學的觀點和方法研究分析學的課題，可看作無限維的分析學。

變分法是17世紀末發展起來的一門數學分支，是處理函式的數學領域，和處理數的函式的普通微積分相對。它最終尋求的是極值函式：它們使得泛函取得極大或極小值。變分法起源於一些具體的物理學問題，最終由數學家研究解決。

有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。