柯爾莫哥洛夫檢驗

柯爾莫哥洛夫檢驗是由柯爾莫哥洛夫提出的一種分布擬合檢驗，用於檢驗完全已知的連續型分布函式。

基本介紹

• 中文名：柯爾莫哥洛夫檢驗
• 外文名：Kolmogolov test
• 領域：統計學
• 提出者：柯爾莫哥洛夫
• 提出時間：1933
• 套用：檢驗完全已知的連續型分布函式

定義

哥洛夫(Kolmogolov)1933年證明了著名的柯爾莫哥洛夫定理(隨機變數的存在性定理)，並由此建立了一個分布擬合檢驗——柯爾莫哥洛夫檢驗，用於檢驗完全已知的連續型分布函式 ： ( 為完全已知的連續型分布函式)。

由格里汶科(Glivenko)定理知，當樣本容量n充分大時，經驗分布函式 與理論分布函式 相當接近。所以，當 成立且n較大時， 與 的差距不應太大，故用統計量 作為的檢驗統計量，並導出了的精確分布和的極限分布。

給出的具體求法和拒絕域的確定方法：

(1)將樣本觀測值 ，按不降次序排列成

(2)計算 的值：

(3)對給定的顯著性水平 ，當n≤100時，在柯爾莫哥洛夫檢驗的臨界值 表中查臨界值 ；

(4)若 ，則拒絕原假設 ，即認為樣本不是取自分布為 的總體；否則接受 ，即認為樣本取自分布為 的總體。

與皮爾遜 擬合檢驗法相比，該檢驗法充分利用樣本所提供的信息，在所有點上考慮了經驗分布函式與總體分布函式之間的差異，克服了 擬合檢驗依賴於區問的劃分的缺點。但是，只有當總體為一維且理論分布完全已知時，柯爾莫哥洛夫檢驗優於 擬合檢驗。當理論分布中含有未知參數時，柯爾莫哥洛夫檢驗需要做特殊處理，只對常態分配和指數分布做了這樣的處理。且當樣本容量n>100時，或樣本觀測值中有重複數據時，統計量 的求法及臨界值 的求法還要另作處理。

正態性檢驗

要通過樣本 來檢驗總體的分布是否服從常態分配 ．由 於中有兩個未知參數 ，不能直接用Kolmogolov統計量 來檢驗常態分配的假設．對未知參數 ，如用其無偏估計量

代替，則要檢驗的假設實際上是

與Kolmogolov統計量類似取檢驗統計量為

對給定的顯著性水平 ，檢驗規則為：

若 ，則拒絕 ，否則就接受 ．為求 ，需要知道 的分布函式，顯然 的分布不同於 的分布。對於 ，Lilliefors計算了 的臨界值 。

值的計算方法與 值的計算方法相同。

指數分布的檢驗

要通過樣本 檢驗總體的分布是否服從單參數指數分布，一般的參數指數分布函式

中，有一個未知參數 ，如用 的極大似然估計

代替 ，則要檢驗的假設實際上是

與柯氏檢驗類似，可取檢驗統計量

其中

是 的順序統計量，當樣本中有重複數據時，與前面一中的求法相同。

為提高檢驗的功效，1971年Finklestein和Sehafer提出檢驗 的統計量為

並對 ，求出了 的臨界值 的表。

顯然， 值大， 的值也大，此時分布函式 的曲線與經驗分布函式 的曲線擬合的不好，應拒絕 ．所以對顯著性水平 ，檢驗的規則為：若 時，拒絕 ，否則就接受 。