析因試驗

析因試驗是考察某些條件(因子)對目標變數影響的試驗或實驗。設X是需通過試驗考察的經濟量或物理量——目標變數。在影響X的條件下，有可以控制的因素，還有大量無法控制的隨機因素。所要考察的影響目標變數且可以控制的條件，稱做因子或因素；因子的狀態、等級或數值，稱做因子水平。析因試驗，把各因子分別控制在若干不同水平上，而使其餘可以控制的條件保持不變，並對各種不同的因子水平組合(配方)分別進行試驗。只有一個因子的析因試驗，稱做單因子試驗；有兩個或兩個以上因子的試驗，稱做“多因子試驗”。考察r個因子每個因子各取m個水平的析因試驗，簡稱為“m^r型試驗”；這樣試驗的r個因子的每一種水平組合稱做“一個試驗點”；m^r型試驗共有m^r個試驗點；將m^r個試驗都實施的析因試驗稱做“全面試驗”，否則稱做“部分試驗”。方差分析法是分析多因子析因試驗最重要的統計方法。

基本介紹

• 中文名：析因試驗
• 外文名：factorial experiment
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：統計學（試驗設計）
• 相關概念：方差分析法
• 簡介：一種多因素的交叉分組試驗
• 分類：單因子試驗、多因子試驗

基本介紹

析因試驗是一種多因素的交叉分組試驗。它不僅可檢驗每個因素各水平間的差異，而且可檢驗各因素間的互動作用。兩個或多個因素間如存在互動作用，表示各因素不是各自獨立的，而是一個因素的水平有改變時，另一個或幾個因素的效應也相應有所改變;反之，如不存在互動作用，表示各因素具有獨立性，一個因素的水平有所改變時不影響其他因素的效應。下面介紹最簡單的兩因素析因試驗(以“2×2”為例)和較複雜的四因素析因試驗(以“2×2×3×2”為例)的設計及其分析方法。

2×2析因試驗

2×2設計表示有兩個因素，每個因素各有兩個水平，共有四個組合。如以A₁表示A因素1水平，A₂表示A因素2水平，B₁表示B因素1水平，B₂表示B因素2水平，各因素的水平之間逐個組合，即成2×2設計，其模型如下：

圖1

2×2析因分析時，首先應對4個組合的試驗結果作方差齊性檢驗，如已滿足齊性要求，即可進行方差分析。方法如下：

(1)作檢驗假設。有兩種： 一是A因素或B因素的各水平間的比較，H₀為A因素或B因素兩水平的總體均數相等，即μ1=μ2;二是分析A、B兩因素的互動作用，H0為兩因素間無互動作用，即彼此獨立。

(2)將總變異的離均差平方和SS及自由度v按變異來源分為A因素、B因素、互動作用A×B及誤差四部分。SS_A和SS_B的計算公式見條目“單因素多個樣本均數比較”。A、B兩因素互動作用的離均差平方和SS_A×B的計算需先列副表，再用式(1)及式(2)。

式中SS_T(AB)為A、B兩因素副表總變異的離均差平方和;X_A1B1為A因素1水平與B因素1水平組合的樣本觀察值，余類推;n為分子中每個合計所包含的例數，C'為校正數(C'區別於因素C)。自由度v的計算：總變異v=總例數-1，某因素v=該因素的水平數-1，互動作用v=有關因素的自由度之積，2×2析因分析中v均為1。

(3)分別計算各因素及互動作用的均方MS(=SS/v)，並與誤差的均方相比得F值。

(4)查F界值表得P值，按所取檢驗水準作出推斷結論。

2×2×3×2析因試驗

2×2×3×2設計，表示有四個因素，各因素依次有2、2、3、2個水平，共有2×2×3×2=24個組合。如以ABCD表示四個因素，A₁、A₂表示A因素的兩個水平，同樣，B₁、B₂，C₁，、C₂、C₃，D₁、D₂分別表示B、C、D因素的各個水平，則2×2×3×2設計的模型如下：

圖2

圖3

圖4

按此模型安排24個組合的試驗，每個試驗可根據試驗條件和具體要求規定重複次數，一般所取次數較少。對試驗結果應先作方差齊性檢驗，然後再作方差分析(參照2×2析因分析加以擴展)：

單因素組間比較： A，B，C，D;

一級互動作用： A×B，A×C，A×D，B×C，B×D，C×D;

二級互動作用： A×B×C，A×B×D，A×C×D，B×C×D;

三級互動作用： A×B×C×D。

總共15次檢驗，目的在於得出各因素的最佳水平及其組合。

析因試驗能夠分析多種互動作用，以獲得豐富的結論，但當因素過多，因素中包括的水平又劃分過細時，將使互動作用的內容頭緒繁多，不但計算不便，而且對它們的具體解釋亦十分錯綜複雜。故除非必須同時對某些因素進行研究外，一般宜採用較簡單的析因試驗。

析因試驗設計

析因試驗設計是指任意r(r≥1)個因子，每個因子取任意給定數目m_i(i=1，2，…，r)水平的試驗的設計，分為全面析因試驗設計和部分實施析因試驗設計兩大類，其中因子的水平是可以控制的或者隨機選取的。每個因子各取一個水平，r個水平構成一個水平組合，總共有n=m₁×…×m_r個不同的水平組合 (亦稱試驗點或處理方法)。對每一水平組合至少進行一次試驗(對一個單元進行試驗)的設計，稱做全面設計，其優點是能考察全部主因子效應和全部互動效應，其缺點是工作最大甚至無法實施，結果也難以控制。1946年芬尼(D.J.Finney)提出了部分實驗法，即只挑選一部分有代表性的水平組合進行試驗的方法，其實質是忽略全部或大部不顯著互動效應(如，忽略全部三階及三階以上互動效應)，正交拉丁方和正交表就是部分實施的重要工具。