有理函式域(rational function field)是一種重要的純超越擴張。純超越擴張是一類重要的超越擴張。設擴域K在F上的超越基為S，若K=F(S)，則稱此域擴張為純超越擴張，K為F的純超越擴域。
基本介紹
- 中文名：有理函式域
- 外文名：rational function field
- 領域：數學
- 學科：域論
- 性質：一種重要的純超越擴張
- 上層概念：超越擴張
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概念
有理函式域是一種重要的純超越擴張。若K為域，則關於不定元x1，x2，…，xn的多項式環K[x1，x2，…，xn]是整環，且它的商域K(x1，x2，…，xn)是由形如：
純超越擴張
純超越擴張是一類重要的超越擴張。設擴域K在F上的超越基為S，若K=F(S)，則稱此域擴張為純超越擴張，K為F的純超越擴域。此時，K與F上一組未定元X的多項式環F[X]的分式域(商域)F(X)同構，其中X與S的基數相等。一般地，設K是F的任一擴域，若其超越基為S，則F(S)是F的純超越擴域，K為F(S)的代數擴域。這樣，一個域擴張可分成兩種特殊的域擴張來研究，即FF(S)K。超越次數為1的純超越擴張稱為單超越擴張。
代數擴張
代數擴張是一類重要的域擴張。設E是F的擴域，若E中元皆為F上的代數元，則稱此域擴張為代數擴張，E稱為F的代數擴域，否則稱為超越擴張，而E稱為F的超越擴域。代數擴張具有傳遞性。當α是F上代數元時，其單代數擴域F(α)同構於F[x]/(p(x))，p(x)是α的最小多項式，(p(x))表F[x]中由p(x)生成的主理想。
域擴張
域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α1，α2，…，αn)≠0。
由於這個原因，當F(α1，α2，…，αn)關於F的超越次數≥1時，F(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。
域
設P是一至少含有兩個元素的環，如果在P中乘法還具有下列性質：
(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；
(2)有逆元素，即對p中每個非零元素a都有一元素a，使aa-1=a-1a=e；
(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個域。域有下列的基本性質：
(1)域沒有零因子；
(2)若集F在兩個 二元運算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個域：
①F是以零為單位元的加法群；
②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個交換群；
③乘法對加法是可分配的；
(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，並記作x=a/b；
(4)在F中，指數律成立；
(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。
