包絡代數

代數幾何是研究多項式方程組在仿射或射影空間裡的公共零點集合的幾何特性的數學分支學科。換言之,它是研究代數簇的。代數幾何與許多其他數學分支有著密切的聯繫。包絡代數(enveloping algebra)是代數幾何中的重要概念,是指由給定代數與其反代數構造的張量代數。

基本介紹

  • 中文名:包絡代數
  • 外文名:enveloping algebra
  • 領域:代數幾何
  • 定義:代數與其反代數構造的張量代數
  • 元素:代數及其反代數
  • 相關術語:張量代數、分離代數
代數幾何,包絡代數的概念,理解,張量代數,張量代數的泛性質,分離代數,

代數幾何

代數幾何是研究多項式方程組在仿射或射影空間裡的公共零點集合的幾何特性的數學分支學科。換言之,它是研究代數簇的。代數幾何與許多其他數學分支有著密切的聯繫。通常假設代數簇V中點的坐標在某個固定域k中選取,k稱為V的基域。V為不可約(即V不能分解成兩個比它小的閉代數子簇的並)時,V上所有有理函式(即兩個多項式的商)全體也構成一個域,稱為V的有理函式域,它是k的一個有限生成擴域。通過這樣的一個對應關係,代數幾何可以看成是用幾何的語言和觀點來研究有限生成擴域。
代數幾何的基本問題就是代數簇的分類。包括雙有理分類與雙正則分類(即同構分類)。若一個代數簇V1到另一個代數簇V2的映射誘導了函式域之間的同構,則稱該映射為雙有理映射。設有兩個代數簇V1,V2,若V1中有一個稠密開集同構於V2的一個稠密開集,則稱V1,V2是雙有理等價的。這等價於V1和V2的函式域之間的同構。按這個等價關係對代數簇進行分類就稱為雙有理分類。分類理論是這樣建立的:首先,找出代數簇的雙有理等價類;其次,在這個等價類中找到一個好對象的子集,如非奇異射影簇,對它們進行分類;第三步就是確定一個任意簇與這些好的對象相差多遠。因為任意特徵0的基域上的代數簇都雙有理等價於一個非奇異射影簇,所以為實現這三步,人們往往先找一組與非奇異射影簇對應的整數,稱為它的數值不變數。例如,在射影簇的情形,它的各階上同調空間的維數就都是數值不變數。然後試圖在所有具有相同的數值不變數的代數簇的集合上建立一個自然的代數結構,稱為它們的參量簇,使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時,對應的代數簇也在相應的代數結構中變化。目前,只有代數曲線、一部分代數曲面以及少數特殊的高維代數簇有較完整的分類。
20世紀初期,由於抽象代數方法的引入,抽象域上的代數幾何理論建立起來了。特別是在20世紀50年代,塞爾(Serre,J.P.)把代數簇的理論建立在層的概念上,並建立了凝聚層的上同調理論,這為格羅騰迪克(Grothendieck,A.)隨後建立概形理論奠定了基礎。概形理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。概形的概念是代數簇的推廣。粗淺地,它允許點的坐標在任意有單位元的交換環中選取,並允許結構層中有冪零元。概形理論把代數幾何和代數數域的算術統一到了一個共同的語言之下,這使得在代數數論的研究中可以套用代數幾何中大量的概念、方法和結果。
20世紀以來,複數域上代數幾何中的超越方法也有重大的進展,例如,德·拉姆(de Rham,G.-W.)的解析上同調理論,霍奇(Hodge,W.V.D.)的調和積分理論的套用,小平邦彥斯潘塞(Spencer,D.C.)的變形理論以及格里菲思(Griffiths,P.)的一些重要工作。這使得代數幾何的研究可以套用偏微分方程微分幾何拓撲學等理論。

包絡代數的概念

包絡代數是指由給定代數與其反代數構造的張量代數。設A是R代數,A的反代數
與代數A的張量代數
稱為A的包絡代數。如此定義的代數
與A看做另一個交換環S(比如,S是R的子環或A的中心)上代數的包絡代數
是不同的。若A是有1的R代數,則每個右
模M皆為A雙模,其模乘法為:
對任意m∈M,a,b∈A。反之,若在A雙模M中規定:
則M是右
模。包絡代數是研究R分離代數的工具。

理解

張量代數

設E為交換體K上的向量空間。對任一自然數偶(p,q),存在唯一的從
中的雙線性映射Npq,使對Ep的任一元素(x1,…,xp)與Eq的任一元素(xp+1,…,xp+q),有:
(對任一自然數n,Tn(E)表示E的n次張量冪.)
雙線性映射Npq在向量空間Tn(E)上定義一個酉K-代數結構。這個酉代數叫做向量空間E的張量代數,記為T(E)。
這個代數是結合的;它由E=T(E)生成。此外,對於任一結合的酉K-代數B及從E到B中的任一線性映射f,f以唯一的方式拓展成一個從酉代數T(E)到酉代數B中的同態。設F為K上的向量空間,而T(F)為F的張量代數。則對從E到F中的任一線性映射f,存在唯一的從酉代數T(E)到酉代數T(F)中拓展f的同態。這個同態叫做線性映射f的張量開拓,記為T(f)。

張量代數的泛性質

張量代數的特徵性質。它更能揭示張量代數的本質。也可用來定義張量代數。設V為域K上的向量空間。若U為K上有單位元1的結合代數,ε:V→U為線性映射,稱(ε,U)對(或U)具有V上張量代數的泛性質,若它們滿足如下條件:
1.Im ε與1代數地生成U.
2.對任意的有單位元e的K上結合代數A及任意的線性映射η:V→A,都有代數同態h:U→A使h(1)=e且hε=η.
上述條件1和2可改為:對任意的有單位元e的結合代數A及任意的線性映射η:V→A,都有惟一的代數同態h:U→A,使h(1)=e且hε=η。當V取定後,滿足上述泛性質的代數U在代數同構意義下是惟一的,因此上述的U必同構於用向量空間上的張量代數中的辦法具體構作出的張量代數V。

分離代數

亦稱可分代數。與分離擴域密切相關的代數。設
是R代數A的包絡代數。若A作為右
模(模乘法
)是投射的,則稱A為分離代數。若
,則μ為
到A的R模滿同態。於是,A是分離的,若且唯若:
是分裂正合的。分離代數A作為R的子環上代數未必分離,但對任一R交換代數S,其純量擴張As=A
RS是分離S代數。分離代數最初是對域F上代數定義的,即F代數A是分離的充分必要條件是A為有限維代數,且對F的每個擴域E,AE=AFE是半單的。“分離”來源於F的擴域E是分離F代數的充分必要條件是E為F的分離擴域。域F上分離代數有如下結構定理:F代數A是分離的,若且唯若:
其中Ai是有限維F代數,且Ai的中心是F的分離擴域。

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