基本介紹
- 中文名：有序群
- 外文名：ordered multiplicative group
- 領域：代數
- 對象：交換群
- 作用：賦值論
- 定義：帶有全序的一個交換乘(加)群
詳細定義,群,交換群,全序,套用領域,
詳細定義
有序群(ordered multiplicative group )是指由記以加法的交換群G與同G的法則相容的G中的一種序關係所組成的偶。換言之，對G之元素的任一三元組(x，y，z)，有：
有序群也可以定義為帶有全序的一個交換乘(加)群。關於有序乘(加)群，下面兩個定義是等價的：
1.Γ是一個階大於1的交換乘(加)群，即Γ≠{1}({0})，若Γ中有非空子集Δ滿足：
1) 1Δ(0Δ)。
2) 對Γ中的每一個元素λ≠1(λ≠0)，必有λ∈Δ或者λ∈Δ(-λ∈Δ)。
3) Δ對乘法(加法)封閉，
則稱Γ為一個有序乘(加)群，或者稱為由Δ所定義的有序乘(加)群。
2.Γ是一個交換群，若Γ上定義了一個二元關係≤，滿足下麵條件：
1) 對於每個λ∈F有λ≤λ成立。
2) 對於任意兩個λ，u∈Γ，有λ≤u或者u≤λ成立。
3) 若λ≤u以及u≤λ，則λ=u。
4) λ≤u，u≤v且有λ≤v。
5)若λ≤u，且對任何v∈Γ皆有
λv≤uv(λ+v≤u+v)。
有序交換群在賦值論中有很重要的作用。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
交換群
交換群亦稱阿貝爾群，是一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
交換群的運算適合交換律。挪威數學家阿貝爾在研究高次方程的根式求解時，除了五次方程以外，他討論了更廣一類的方程，現稱之為阿貝爾方程。其全部根都是其中一個根的有理函式，設x1是n次阿貝爾方程的一個根，其全部根則為
，其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函式，並且對於任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。後人發現，阿貝爾方程是具有交換律的伽羅瓦群的方程。為了紀念阿貝爾，後人稱交換群為阿貝爾群。
交換群是一般群論中的一個獨特分支。在拓撲學和代數學中常常構造一些交換群，作為討論問題的工具。例如，拓撲學中的基本群、同調群，代數學中的布饒爾群等等。交換群論與代數拓撲學、模論、同調代數、環論等有著密切的聯繫。
全序
全序亦稱“線性序”。序關係的一種。具有連結性的半序。可分強、弱兩種，分別用<與≤表示，它們是滿足相應連結性的強、弱半序關係。即對於集合X中的任何元a，b，連結性也可表示為：a=b或a<b或b<a，結合強半序中的其他性質，可以證明滿足強全序關係的集中的任何元素a、b，a<b、a=b與b<a，三者中必有且僅有一個成立，這個性質叫做三分律。
全序
套用領域
有序群在賦值論中有重要套用。
賦值論是域論的一個重要分支。它是研究交換代數的一個工具。特別是在代數數論、分歧理論、類域論和代數幾何中有極為重要的套用。通常的賦值可分為加法與乘法賦值兩類，有時簡稱賦值。從賦值出發，可以給原來的域一個拓撲結構，使之成為拓撲域.賦值理論肇始於屈爾沙克(Kürschák，J.)於1913年發表的論文.賦值、賦值域這些名稱都是他首先引入的。其後，經過奧斯特洛夫斯基(Ostrowski，A.M.)等人的工作，解決了屈爾沙克在論文中提出的問題，並發展了這一理論.1932年，克魯爾(Krull，W.)發表了題為《一般賦值理論》的基本論文，從而奠定了賦值論這一分支的基礎.時至今日，賦值理論已逐漸越出了“域”的界限，在許多代數結構上，例如群、環、向量空間等，也用多種方式引進賦值，並由此對這些結構作算術理論的研究.此外，賦值論還滲入泛函分析的領域，發展了所謂非阿基米德泛函分析。
