最簡反三角不等式(simplest inverse trigonometric inequality)指含有未知角的主值的反三角函式不等式，若f(x)是主值反三角函式，則f(x)>m或f(x)<m(m∈R)稱為最簡反三角不等式。
基本介紹
- 中文名：最簡反三角不等式
- 外文名：simplest inverse trigonometric inequality
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：代數與方程（三角不等式）
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基本介紹
含有反三角函式的不等式稱為反三角函式不等式(anti-trigonometric function inequalities)。
例如：arc sin x>arc cos x，arc tanx－4arc tan x+3>0等都是反三角函式不等式。
形如arc sin x>m，arc cos x>m，arc tan x>m，arc cot x>m的不等式稱為最簡反三角函式不等式。
最簡反三角不等式的解集
最簡反三角不等式的解集如下：
arc sin x>m
當
時，由反正弦函式定義知，不等式的解為-2≤x≤1；
當
時，不等式無解；
當
時，因為arc sin x>m=arc sin(sin m)，根據反三角函式的單調性可得 sin m<x≤1。
同理可得arc sinx<m(
)的解為：-1≤x<sin m。
arc cos x>m
當m<0時，不等式的解為-1≤x≤1；
當m≥π時，不等式無解；
當0≤m<π時，不等式的解為-1≤x<cos m。
不等式arc cos x<m(0<m≤π)的解為cos m<x≤1。
arc tan x>m
當
時，不等式的解為
；
當 時，不等式無解；
當
時，不等式的解為x>tan m。
不等式arc tan x<m( )的解為x<tan m。
arc cot x>m
當m≤0時，不等式的解為 ；
當m≥π時，不等式無解；
當0<m<π時，不等式的解為x<cot m。
不等式arc cot x<m(0<m<π)的解為x>cot m。
例題解析
【例1】解不等式arc sin x>arc cos x。
解： 若x<0，則arc sin x<0，arc cos x>0，不等式不成立，因此只須求不等式在0≤x≤1時的解，這時左右兩端屬於區間
，根據正弦函式的單調性，有：
三角不等式的證明
對三角不等式的證明，一般有兩條思路：
(1)利用換元法把三角不等式轉化為代數不等式，從而可用代數方法證明。 ·
(2)利用三角函式的有界性，增減性，直接對三角不等式進行證明。
常用的三角不等式有：
(1)
(2)當
時，
