初等數學解題方法大全

作品目錄

一、基本邏輯知識
（一）什麼是邏輯學
（二）邏輯思維的基本形式
1.概念
（1）什麼是概念
（2）概念的內涵和外延
（3）概念間的關係
①同一關係
②交叉關係
③從屬關係
④矛盾關係
⑤反對關係
（4）概念的限定和概括
①概念的限定
②概念的概括
（5）概念的定義
（6）概念的劃分
2.判斷
（1）什麼是判斷
（2）判斷的分類
（3）數學中的判斷
①性質判斷
②關係判斷
③假言判斷
④選言判斷
⑤聯言判斷
⑥負判斷
3.命題
（1）什麼是命題
（2）命題的結構
（3）簡單命題與複合命題
①假言命題
②選言命題
③聯言命題
④等價命題
⑤否定命題
（4）命題的四種形式及其關係
（5）命題的演算規則
（6）命題的條件
（7）公理、定理、推論
（8）分斷式命題
（9）逆命題的製造
4.推理
（1）什麼是推理
（2）演繹推理
（3）歸納推理
（4）類比推理
5.數學證明
（1）什麼是證明
（2）證明的規則
（三）邏輯思維的基本規律
1.同一律
2.矛盾律
3.排中律
4.充足理由律
二、怎樣解數學題
（一）解數學題的實質
（二）解題的要求
1.解答數學題要正確合理
2.解題過程要符合邏輯
3.解題方法力求簡單清楚
4.解題理由要充分
5.解題的答案要詳盡無遺
6.解題的最後結果形式要簡單
7.注意命題條件與結論的推廣
（三）解題步驟
1.審題
（1）分析條件，理解題意
（2）注意題中的常數
2. 探求解題方法
（1）區分習題類型
（2）觀察、聯想、轉化
①觀察
②聯想
③轉化
3.寫出習題的解答過程
4.檢查答案是否合理
（1）推理要正確
（2）檢查答案是否完備、確切
（3）檢查解答是否合乎要求
（四）解題後的回憶
1.解題方法的回憶
2.錯誤分析
三、解數學題的常用方法
（一）觀察法
（二）定義法
（三）分析法
（四）綜合法
（五）反證法
（六）同一法
（七）數學歸納法
（八）第二數學歸納法
（九）整體法
（十）配方法
（十一）換元法
（十二）待定係數法
（十三）參數法
（十四）相消法
（十五）代入法
（十六）比較法
（十七）“1”的代換法
（十八）試探法
（十九）賦值法
（二十）構造法
（二十一）三角法
（二十二）直角坐標法
（二十三）極坐標法
（二十四）複數法
四各種題型的常用解法
（一）算術問題的解法
1.式題的解法
（1）四則計算題的計算方法
（2）四則混合式題的計算方法
①基本法
②簡算法
③約分法
④拆數法
（3）繁分數的化簡方法
①相除法
②倍數法
③約分法
④逐次減層法
（4）速算的方法
①湊整法
②湊同法
③基準數法
④反數法
⑤拆數法
⑥公式法
（5）驗算的方法
①正算法
②逆算法
③棄九法
2.文字題的解法
①直譯法
②意譯法
③分析法
④綜合法
⑤縮句法
⑥分段法
⑦代數法
3.套用題的解法
①綜合法
②分析法
③圖解法
④直接法
⑤列舉法
⑥追蹤法
⑦逆推法
⑧消元法
⑨假設法
⑩對應法
⑾不變數法
⑿變換條件法
⒀增元法
⒁類比法
⒂比例法
⒃歸一法
⒄倍比法
⒅歸總法
（19）公式法
（20）代數法
（二）初等代數問題的解法
1.代數式問題的解法
（1）整式的運算方法
①基本運算法
②豎式運算法
③公式法
④分離係數法
⑤綜合除法
⑥比較係數法
⑦數值代人法
（2）因式分解的方法
①提取公因式法
②公式分解法
③分組分解法
④十字相乘法
⑤求根法
⑥配方法
⑦余元定理法
⑧比較係數法
⑨數值代入法
（3）分式的運算法
①基本運算法
②比較係數法
③數值代入法
④乘因式法
（4）根式的運算法
①有理化因式法
②基本運算法
③公式法
2.代數方程與方程組的解法
（1）有理方程的解法
①同解變形法
②分解因式法
③求根公式法
④換元法
⑤韋達定理法
⑥配方法
⑦余元定理法
⑧比較係數法
（2）無理方程的解法
①乘方法
②觀察法
③配方法
④因式分解法
⑤換元法
⑥共軛根式法
（3）方程組的解法
①代入消元法
②加減消元法
③換元法
④韋達定理法
⑤分解因式法
⑥行列式法
3.代數不等式問題的解法
（1）整式不等式的解法
①基本運算求解法
②配方法
③分解因式法
（2）分式不等式的解法
①運算求解法
②不等式聯立法
③轉化法
（3）絕對值不等式的解法
①公式法
②區間分析法
（4）無理不等式的解法
①運算求解法
②不等式聯立法
（5）不等式組的解法
4.指數與對數問題的解法
（1）冪的運算方法
①基本運算法
②代數公式法
（2）對數的運算方法
①基本運算法
②定義法
③換底公式法
（3）指數方程的解法
①比較指數法
②取對數法
③換元法
④分解因式法
（4）對數方程的解法
①定義法
②換底公式法
③比較真數法
④換元法
5.數列問題的解法
（1）求數列通項公式的方法
①觀察分析法
②公式法
③轉化法
④歸納法
（2）求由遞推公式給出的數列通項的方法
①歸納法
②作差求和法
③配項法
④消常數項法
⑤換元法
⑥特徵方程法
（3）數列求和的方法
①公式法
②轉化法
③通項公式變形法
④和式倒寫相加法
⑤和式變倍相減法
⑥複數法
6.排列組合問題的解法
（1）排列、組合和式的求值化簡及組合恆等式的證明方法
①基本公式法
②母函式法
③數學歸納法
④構造模型法
（2）排列組合套用題的解法
①模型類比法
②直接分步法
③直接分類法
④淘汰法
⑤放縮法
⑥集合法
7.函式問題的解法
（1）求函式定義域的方法
（2）求函式值域的方法
①直接法
②反函式法
③圖象法
④判別式法
⑤平均值不等式法
⑥配方法
⑦二次函式法
⑧換元法
⑨導數法
（3）求函式解析式的方法
①待定係數法
②“對應”變形法
③過渡變數法
④特殊值法
⑤列解方程（組）法
⑥數學歸納法
（4）作函式圖象的方法
①描點法
②平移法
③對稱法
④疊加法
⑤絕對值翻轉法
⑥導數法
8.複數問題的解法
（1）複數的運算方法
①直接運算法
②“1”的代換法
③“i”的代換法
④“ω”的代換法
⑤向量法
（2）複數綜合題的解法
①複數相等法
②共軛複數法
③複數模的不等式法
9.代數證明題的證法
（1）恆等式的證明方法
①一般方法
②公式法
③代值驗證法
④待定係數法
⑤數學歸納法
⑥拆項法
⑦母函式法
（2）條件等式的證明方法
①綜合法
②分析法
③代人法
④變換法
⑤（代數）消元法
⑥換元法
⑦數學歸納法
（3）不等式的證明方法
①比較法
②綜合法
③分析法
④拆項法
⑤放縮法
⑥數學歸納法
⑦反證法
⑧換元法
⑨輔助式法
⑩配方法
⑾判別式法
⑿導數法
⒀構造法
⒁重要不等式法
（三）平面幾何問題的解法
1.證明題的證法
（1）普通問題的證明方法
①綜合法
②分析法
③反證法
④同一法
⑤枚舉歸納法
⑥數學歸納法
⑦疊置法
⑧拼合法
⑨分解法
⑩擴充法
⑾對稱變換法
⑿平移變換法
⒀旋轉變換法
⒁面積法
⒂射影法
⒃變更問題法
⒄計算法
⒅解析法
(19)複數法
(20)三角法
(21)極坐標法
（22)四點共圓法
（23）構圖法
（24）傳遞法
（25）全等三角形法
（26）等腰三角形法
（27）平行四邊形法
（28）相似三角形法
（29）三角形中位線法
（30）定值問題的證明方法
①特殊位置探求法
②計算探求法
（3）極值問題的證明方法
①三角形法
②極值定理法
③代數法
④三角法
2.作圖題的作法
①交軌法
②三角形奠基法
③平移法
④對稱法
⑤旋轉法
⑥放縮法
⑦延長線法
⑧角弧法
⑨游移切線法
⑩輔助圓法
⑾面積割補法
⑿比例線段法
⒀代數法
⒁變更問題法
⒂逆序法
⒃伸縮進退法
3.計算題的解法
①公式法
②等量替換法
③列解方程法
④比例線段法
⑤三角法
⑥解析法
⑦面積割補法
（四）平面三角問題的解法
1.三角函式的計算方法
①定義法
②公式法
③代入法
④綜合法
⑤“1”的代換法
⑥平方公式法
⑦賦值法
⑧構造法
2.三角等式的證明方法
①定義法
②分析法
③綜合法
④相消法
⑤數學歸納法
⑥化為兩弦法
⑦“1”的代換法
⑧降冪法
⑨比較法
⑽反三角運算法
⑾複數法
⑿邊角互換法
⒀直推法
⒁代入法
⒂消元法
⒃換元法
⒄構造法
3.三角不等式的證明方法
①比較法
②單位圓法
③萬能代換法
④極值法
⑤公式法
⑥構造方程法
⑦構造圖形法
⑧反證法
⑨數學歸納法
4.三角作圖題的作法
①描點法
②幾何法
③變換法
5.三角方程的解法
①變數代換法
②因式分解法
③引用輔助角法
④萬能置換法
⑤化為兩弦法
⑥消元法
⑦相除法
⑧取三角函式法
（五）立體幾何問題的解法
1.計算題的解法
①定義法
②計算法
③判別式法
④體積法
⑤割補法
⑥三角法
⑦窮舉尋徑法
2.證明題的證法
①定義法
②分析法
③綜合法
④反證法
⑤體積法
⑥構造法
⑦三角法
⑧參數法
（六）平面解析幾何問題的解法
1.求曲線方程的方法
①定義法
②直譯法
③待定係數法
④平面幾何法
⑤轉移法
⑥交軌法
⑦參數法
⑧極坐標法
⑨複數法
⑩韋達定理法
⑾消去法
2.作圖題的作法
①描點法
②簡便描點法
③平方法
④分段討論法
⑤移軸法
3.計算題的解法
①基本公式法
②定義法
③判別式法
④解方程組法
⑤配方法
⑥三角法
⑦韋達定理法
⑧平面幾何法
⑨不等式法
⑩複數法
4.證明題的證法
①基本公式法
②定義法
③權幾何法
④參數法
⑤極坐標法
⑥三角法
⑦曲線系法
⑧集項法
⑨列解方程組法
⑩韋達定理法
（七）集合問題的解法
1.集合的表示法
①字母表示法
②列舉法
③特性表示法
④文氏圖表示法
⑤函式圖象表示法
2.集合的運算與集合等式的證明方法
①定義法
②公式法
③文氏圖法
④函式圖象法
（八）初等微積分問題的解法
1.求極限問題的解法
①四則運算法
②函式值法
③兩個重要函式極限公式法
④無窮小分離法
⑤有理化法
⑥約分――通分法
⑦無窮小性質法
⑧三角公式法
⑨換元法
⑩等價無窮小法
⑾夾擠法
⑿實數連續性公理法
⒀雙側極限法
⒁微分中值公式法
⒂定積分法
⒃積分中值公式法
⒄斯篤茲定理法
⒅洛比達法則法
⒆泰勒公式法
2.求導數問題的解法
①定義法
②直接求導法
③逐層求導法
④對數恆等式法
⑤兩邊取對數法
⑥隱函式求導法
⑦參數方程法
⑧萊布尼茲法
3.求不定積分問題的解法
①直接積分法
②第一換元法（“湊微分”法）
③第二換元法
④分部積分法
⑤遞推公式法
⑥分項分式法
⑦配方添項湊微法
⑧歐拉代換法
⑨萬能代換法
⑩多次代換法
⑾積分表法
4.求定積分問題的解法
①定義法
②基本公式法
③換元法
④分部積分法
⑤函式奇偶性質法
5.證明題的證法・
①定義法
②反證法
③微分中值定理法
④積分中值定理法
⑤換元法
⑥保號性定理法
（九）邏輯代數問題的解法
1.二進制數的計算方法
2.二進制數與十進制數的互化方法
①二除取余法
②二乘取整法
3.邏輯式的運算方法
①真值表法
②公式法
③對偶法
④反演法
4.邏輯等式的證明方法
①真值表法
②部分真值代入法
③公式法
④對偶法
⑤反證法
（十）機率統計問題的解法
1. 複雜事件的分解法
①直譯法
②分步分解法
③等價事件法
④兩次求逆法
2.機率的計算方法
①古典定義法
②公式法
③二項機率法
④機率分布法
⑤切比雪夫不等式法
⑥極限定理法
3.隨機變數的分布問題的解法
（1）分布函式、分布列及分布密度的判定方法
（2）分布函式、分布列及分布密度中所含待定常數的確定方法
（3）求離散型隨機變數的機率分布的方法
①古典概型法
②直接法
③輔助事件法
（4）分布列或分布密度與分布函式的互求方法
①累加法
②鄰值相減法
③求積法
④求導法
（5）求隨機變數函式的分布的方法
①等價事件法
②分布函式法
4.求隨機變數的期望與方差的方法
（1）求隨機變數的期望的方法
①定義法
②典型分布法
③函式期望公式法
④運算性質法
⑤構造法
（2）求隨機變數的方差的方法
①定義法
②簡便公式法
③典型分布法
④運算性質法
⑤構造法
5.參數估計問題的解法
（1）期望與方差的點估計問題的解法
①順序統計量法
②矩估計法
③極大似然估計法
（2）估計量優良性的判斷方法
（3）期望與方差的區間估計方法
①u估計法
②t估計法
③x2估計法
6.假設檢驗的方法
①u－檢驗法
②t－檢驗法
③x2－檢驗法
7.回歸分析方法
①最小二乘法
②F－檢驗法
③t－估計法
④預報限反求法
（十一）初等數論問題的解法
1.基礎問題的解法
（1）倍數判別問題的解法
①數字和法
②末位數字法
③末兩位數法
④隔位法
⑤三位一組求和法
⑥三位一組求差法
⑦商數餘數相加法
（2）質數判別問題的解法
①試除法
②篩法
（3）因數分解的方法
（4）最大公因數的求法
①因數分解法
②輾轉相除法
（5）最低公倍數的求法
①因數分解法
②最大公因數法
2.簡單問題的解法
①因數分解法
②奇數偶數分類法
③剩餘類分類法
④因式分解法
⑤二項式定理法
⑥數字法
⑦數學歸納法
⑧反證法
⑨抽屜法
3.綜合問題的解法
①因數分解法
②逐個檢查法
③公倍數法
④奇數偶數分類法
⑤剩餘類分類法
⑥反證法
⑦解不定方程法
⑧抽屜法
（十二）標準化試題的解法
①直接法
②篩選法
③圖象法
④特殊值法
⑤反推法
附：本書主要參考文獻

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