基本介紹
- 中文名：斐波那契數列
- 外文名：Fibonacci sequence
- 別稱：黃金分割數列、兔子數列
- 表達式：F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=3,F[1]=1,F[2]=1)
- 提出者：列昂納多·斐波那契
- 提出時間：1202年
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：代數
- 適用領域範圍：多個領域
- C語言中：FIB數列
定義,通項公式,遞推公式,通項公式,通項公式推導,與黃金分割,關係,證明,特性,平方與前後項,與集合子集,奇數項求和,偶數項求和,平方求和,隔項關係,兩倍項關係,其他公式,套用,生活斐波那契,黃金分割,楊輝三角,矩形面積,質數數量,尾數循環,自然界中“巧合”,數字謎題,影視作品中的斐波那契數列,推廣,相關數學,排列組合,兔子繁殖問題,數列與矩陣,斐波那契弧線,Javascript代碼實現,C++代碼實現,python3代碼實現,
定義
斐波那契數列指的是這樣一個數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和。
自然中的斐波那契數列
自然中的斐波那契數列斐波那契數列的定義者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生於公元1170年，卒於1250年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《算盤全書》（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點於阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數學。
通項公式
遞推公式
斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
如果設F(n）為該數列的第n項（n∈N*），那么這句話可以寫成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式
(如上，又稱為“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。)
註：此時
通項公式推導
方法一：利用特徵方程（線性代數解法）
設常數r，s .
使得
則r+s=1，－rs=1
n≥3時，有
……
聯立以上n-2個式子，得：
∵
，
上式可化簡得：
那么
……
則
設
得
構造方程
解得
，所以
由(1)(2)式得
化簡可得
方法四：母函式法。
對於斐波那契數列{an}，有a1=a2=1,an=an-1+an-2(n>2時)
令S(x)=a1x+a2x+…+anxn+...
那么有S(x)*(1-x-x2)=a1x+(a2-a1)x2+…+(an-an-1-an-2)xn+...=x
因此S(x)=
.
不難證明1-x-x2=-(x+
)(x+
)=(1- *x)(1- *x).
因此S(x)=
*[x/(1- *x)-x/(1- *x)].
再利用展開式1/(1-x)=1+x2+…+xn+…
於是就可以得S(x)=b1x+b2x2+…+bnxn+…
其中bn= *[( )n - ( )n].
因此可以得到an=bn= *[( )- ( )]
與黃金分割
關係
有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向於無窮大時，前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說後一項與前一項的比值小數部分越來越逼近0.618）。
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到後面，這些比值越接近黃金比.
證明
兩邊同時除以
得到：
若
的極限存在，設其極限為x，
則
。
所以
。
由於
解得
所以極限是黃金分割比。
特性
平方與前後項
從第二項開始，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1。
如：第二項1的平方比它的前一項1和它的後一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的後一項3的積3多1。
（註：奇數項和偶數項是指項數的奇偶，而並不是指數列的數字本身的奇偶，比如從數列第二項1開始數，第4項5是奇數，但它是偶數項，如果認為5是奇數項，那就誤解題意，怎么都說不通）
證明經計算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
與集合子集
奇數項求和
偶數項求和
平方求和
隔項關係
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]
兩倍項關係
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
其他公式
套用
生活斐波那契
斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。
斐波那契數與植物花瓣3………………………
百合和蝴蝶花5……………………
藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花8………………………
翠雀花13………………………
金盞和玫瑰21……………………
紫宛34、55、89……………雛菊
斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
黃金分割
隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…
楊輝三角
將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
f⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
f(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
矩形面積
斐波那契數列與矩形面積的生成相關，由此可以導出一個斐波那契數列的一個性質。
斐波那契數列前幾項的平方和可以看做不同大小的正方形，由於斐波那契的遞推公式，它們可以拼成一個大的矩形。這樣所有小正方形的面積之和等於大矩形的面積。則可以得到如下的恆等式：
質數數量
斐波那契數列的整除性與質數生成性
每3個連續的數中有且只有一個被2整除，
每4個連續的數中有且只有一個被3整除，
每5個連續的數中有且只有一個被5整除，
每6個連續的數中有且只有一個被8整除，
每7個連續的數中有且只有一個被13整除，
每8個連續的數中有且只有一個被21整除，
每9個連續的數中有且只有一個被34整除，
.......
我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是質數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契數列的質數無限多嗎？
尾數循環
斐波那契數列的個位數：一個60步的循環
11235,83145,94370,77415,61785,38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
進一步，斐波那契數列的最後兩位數是一個300步的循環，最後三位數是一個1500步的循環，最後四位數是一個15000步的循環，最後五位數是一個150000步的循環。
自然界中“巧合”
斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多套用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此後，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。
另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣數目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個數目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“最佳化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。1992年，兩位法國科學家通過對花瓣形成過程的計算機仿真實驗，證實了在系統保持最低能量的狀態下，花朵會以斐波那契數列長出花瓣。
數字謎題
三角形的三邊關係定理和斐波那契數列的一個聯繫：
現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小於1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
我們看到，“每段的長度不小於1”這個條件起了控制全局的作用，正是這個最小數1產生了斐波那契數列，如果把1換成其他數，遞推關係保留了，但這個數列消失了。這裡，三角形的三邊關係定理和斐波那契數列發生了一個聯繫。
在這個問題中，144>143，這個143是斐波那契數列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最後的一個數上去，如果加到其他數上，就有3條線段可以構成三角形了。
影視作品中的斐波那契數列
斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，於是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達文西密碼》里它就作為一個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，並沒有深入理解研究。在電視劇中也出現斐波那契數列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最後一道數學題~在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無數次引用，甚至作為全劇宣傳海報的設計元素之一。
推廣
斐波那契—盧卡斯數列
盧卡斯數列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數列同樣的性質。（我們可稱之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項開始，每一項都等於前兩項之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2)。
盧卡斯數列的通項公式為 f(n)=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n
這兩個數列還有一種特殊的聯繫（如下表所示），F(n)*L(n)=F(2n)，及L(n)=F(n-1)+F(n+1)
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
斐波那契數列F(n) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | … |
盧卡斯數列L(n) | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | … |
F(n)*L(n) | 1 | 3 | 8 | 21 | 55 | 144 | 377 | 987 | 2584 | 6765 | … |
類似的數列還有無限多個，我們稱之為斐波那契—盧卡斯數列。
如1，4，5，9，14，23…，因為1，4開頭，可記作F[1，4]，斐波那契數列就是F[1，1]，盧卡斯數列就是F[1，3]，斐波那契—盧卡斯數列就是F[a，b]。
斐波那契—盧卡斯數列之間的廣泛聯繫
①任意兩個或兩個以上斐波那契—盧卡斯數列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
F[1,4]n | 1 | 4 | 5 | 9 | 14 | 23 | 37 | 60 | 97 | 157 | … |
F[1,3]n | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | … |
F[1,4]n-F[1,3]n | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | … |
F[1,4]n+F[1,3]n | 2 | 7 | 9 | 16 | 25 | 41 | 66 | 107 | 173 | 280 | … |
②任何一個斐波那契—盧卡斯數列都可以由斐波那契數列的有限項之和獲得，如
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
F[1,1](n) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | … |
F[1,1](n-1) | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | … |
F[1,1](n-1) | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | … |
F[1,3]n | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | … |
黃金特徵與孿生斐波那契—盧卡斯數列
斐波那契—盧卡斯數列的另一個共同性質：中間項的平方數與前後兩項之積的差的絕對值是一個恆值，
斐波那契數列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
盧卡斯數列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]數列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]數列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]數列：|7*7-2*9|=31
斐波那契數列這個值是1最小，也就是前後項之比接近黃金比例最快，我們稱為黃金特徵，黃金特徵1的數列只有斐波那契數列，是獨生數列。盧卡斯數列的黃金特徵是5，也是獨生數列。前兩項互質的獨生數列只有斐波那契數列和盧卡斯數列這兩個數列。
而F[1，4]與F[2，5]的黃金特徵都是11，是孿生數列。F[2，7]也有孿生數列：F[3，8]。其他前兩項互質的斐波那契—盧卡斯數列都是孿生數列，稱為孿生斐波那契—盧卡斯數列。
廣義斐波那契數列
斐波那契數列的黃金特徵1，還讓我們聯想到佩爾數列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類數列的這種特徵值稱為勾股特徵）。
佩爾數列Pn的遞推規則：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
據此類推到所有根據前兩項導出第三項的通用規則：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，稱為廣義斐波那契數列。
當p=1，q=1時，我們得到斐波那契—盧卡斯數列。
當p=1，q=2時，我們得到佩爾—勾股弦數（跟邊長為整數的直角三角形有關的數列集合）。
當p=2，q=-1時，我們得到等差數列。其中f1=1，f2=2時，我們得到自然數列1，2，3，4…。自然數列的特徵就是每個數的平方與前後兩數之積的差為1（等差數列的這種差值稱為自然特徵）。
具有類似黃金特徵、勾股特徵、自然特徵的廣義——斐波那契數列p=±1。
當f1=1，f2=2，p=2，q=0 時，我們得到等比數列1，2，4，8，16……
相關數學
排列組合
有一段樓梯有10級台階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級台階有幾種不同的走法?
這就是一個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上三級台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。
類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。
求遞推數列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式
由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。
兔子繁殖問題
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那么一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對
兩個月後，生下一對小兔對數共有兩對
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
幼仔對數 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | … |
成兔對數 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | |
總體對數 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
幼仔對數=前月成兔對數
成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數
總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數
可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在<算盤全書>中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性質外，還可以證明通項公式為：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3,...）
數列與矩陣
對於斐波那契數列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定義
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
對於以下矩陣乘法
F(n+1) = (1,1 ) (F(n),F(n-1))T
F(n) =(1,0 ) (F(n),F(n-1))T
它的運算就是右邊的矩陣 (1,1)乘以矩陣(F(n),F(n-1))，右邊的矩陣(1,0 ) 乘以矩陣(F(n),F(n-1))，得到：
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數列的定義
設矩陣A=第一行（1，1）第二行（1，0） 疊代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) *（ F(2)，F(1))T= A^(n)*(1,1)T
這就是斐波那契數列的矩陣乘法定義。
另矩陣乘法的一個運算法則A^n(n為偶數) = A^(n/2)* A^(n/2)，這樣我們通過二分的思想，可以實現對數複雜度的矩陣相乘。
因此可以用遞歸的方法求得答案。
數列值的另一種求法：
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數。
斐波那契弧線
斐波那契弧線，也稱為斐波那契扇形線。第一，此趨勢線以二個端點為準而畫出，例如，最低點反向到最高點線上的兩個點。然後通過第二點畫出一條“無形的（看不見的）”垂直線。然後，從第一個點畫出第三條趨勢線：38.2%， 50%和61.8%的無形垂直線交叉。
斐波納契弧線，是潛在的支持點和阻力點水平價格。斐波納契弧線和斐波納契扇形線常常在圖表里同時繪畫出。支持點和阻力點就是由這些線的交匯點得出。
要注意的是弧線的交叉點和價格曲線會根據圖表數值範圍而改變，因為弧線是圓周的一部分，它的形成總是一樣的。
Javascript代碼實現
function* fibo(){ let [pre,curr] = [0,1]; for(;;) { yield curr; [pre,curr] = [curr,pre + curr]; }}for(let i of fibo()){ if(i > 10000) { break; } console.log(i);}//實現10000以內的數列C++代碼實現
基本循環算法
# include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){ int a=0,b=1,c=1,n; cin>>n;//輸入n for(int i=3;i<=n;i++){ a=b; b=c; c=a+b; } cout<<c; //輸出最終結果 return 0;}遞歸算法實現
# include <bits/stdc++.h>using namespace std;int f(int n){ if(n==0) return 0; if(n==1) return 1; if(n>=2) { return f(n-1)+f(n-2); }}int main(){ int n; cin>>n; cout<<f(n); return 0;}遞歸算法最佳化(記憶化搜尋)
# include <bits/stdc++.h>const int MAX=101;using namespace std;int a[MAX];int f(int n){ if(a[n]!=-1) return a[n]; else{ a[n]=f(n-1)+f(n-2); return a[n]; }}int main(){ int n; cin>>n; for(int i=0;i<=MAX-1;i++) {//初始化 a[i]=-1; } a[0]=0;a[1]=1; cout<<f(n); return 0;}高精度計算
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;char sum[1200];int s=0,m=0,n;int main(){ cin>>n; string s1,s2; int a[1200],b[1200]; int he,i; s1="0"; s2="1"; for(m=2;m<n+1;m++) { memset(a,0,sizeof a); memset(b,0,sizeof b); a[0]=s1.length(); for(i=1;i<=a[0];i++) { a[i]=s1[a[0]-i]-'0'; } b[0]=s2.length(); for(i=1;i<=b[0];i++) { b[i]=s2[b[0]-i]-'0'; } he=(a[0]>b[0]?a[0]:b[0]); for(i=1;i<=he;i++) { a[i]+=b[i]; a[i+1]+=a[i]/10; a[i]%=10; } he++; while((a[he]==0)&&(he>1)) he--; for(i=he,s=0;i>=1;i--,s++) { sum[s]=a[i]+'0'; } s1=s2; s2=sum; } cout<<s2<<endl; return 0;}python3代碼實現
def fib(n): a, b = 1, 1 while a < n: print(a, end=' ') a, b = b, a+bfib(100) #輸出的是100以內的斐波那契數列i = 1j = 1print(i,\n,j)for x in range(2,100): if x == i + j: print(x) j = i i = x
