基本介紹
- 中文名：十二平均律
- 亦稱：十二等程律
- 發明者：朱載堉
音樂定律,例子,歷史,物理解釋,頻率,
音樂定律
“十二平均律”的純四度和大三度，兩個音的頻率比分別與4/3和5/4比較接近。也就是說，“十二平均律”的幾個主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的幾個音符相符合的，只有極小的差別，這為小號等按鍵吹奏樂器在樂隊中使用提供了必要條件，因為這些樂器是靠自然泛音級(自然泛音序列，其頻率是基音頻率的整數倍序列，成等差數列)來形成音階的。半音是十二平均律組織中最小的音高距離，全音由兩個半音組成。1-Ⅰ之間分成12份。具體1-2全音，2-3全音，3-4半音，4-5全音，5-6全音，6-7全音，7- i半音。
十二平均律在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用，鋼琴即是根據十二平均律來定音的，因為只有“十二平均律”才能方便地進行移調。曲調由音階組成，音階由音組成。音有絕對音高和相對音高。聲音是靠振動（聲帶、琴弦等）發出的，而振動的頻率（每秒振動的次數），就決定了的音的絕對高度。不同的音有不同的振動頻率。人們選取一定頻率的音來形成音樂體系所需要的音高。
十二平均律簡而言之，就是把半根琴弦按照等比數列平均分成十二份。一根琴弦的長度設為1，可以表示為(1/2)^(0/12)，第一品的位置是(1/2)^(1/12)，第二品的位置是(1/2)^(2/12)，依此類推，第n品的位置是(1/2)^(n/12)。因為這樣的一組音是等比關係，所以無論從哪個位置開始彈起旋律都是一樣的。
十二平均律的半音，比五度相生律的半音大，比純律小。因此，使用十二平均律奏和弦不純，奏旋律導向性不夠，所以在樂曲的演奏中，尤其在樂隊多聲部合奏的時候，實際上是多律並用的，根據實際情況，在演奏過程中，偏向一種律制，並不是一成不變的。
根據十二平均律所有半音都相等的特點，因此還產生了“等音”。
例子
鋼琴是十二平均律制樂器。國際標準音規定，鋼琴的a1（小字一組的a音，對應鋼琴鍵是49A）的頻率是為440Hz；又規定每相鄰半音的頻率比值為2^(1/12)≈1.059463，（解釋：這表示“2的十二分之一次方”），根據這規定，就可以得出鋼琴上每一個琴鍵音的頻率。如與a1右邊相鄰#a1的頻率是440×1.059463=466.16372Hz；再往上，b1的頻率是493.883213Hz；c2的頻率是523.25099......同理，與a1左邊相鄰的#g1的頻率是440÷1.059463=415.304735Hz.....這種定音的方式就是“十二平均律”。
鋼琴上每相鄰的兩個琴鍵（黑白都算）的頻率的差別，音樂上即為半音。比如說C和#C相差半音，C和D相差兩個半音（或曰一個全音），以此類推。如果B再往上升半音，會發現這個音的頻率剛好是C的兩倍，而在音樂上稱為一個八度，這兩個音聽起來“很相象”。用小寫的c來表示它，依次有#c,d……再往上走可以用c1……，c2……來表示，而往下走可以用大寫的C1……，C2……來表示。
歷史
三分損益律、純律、十二平均律，在中國同時存在。因此，也就出現異律並用的情況。在歷史上，南朝宋、齊時清商樂的平、清、瑟三調和隋、唐九、十部樂的清樂中，都是琴、笙與琵琶並用；宋人臨五代周文矩《宮中圖》卷中的琴阮合奏，其時，琴上所用應是純律，笙上所用當為三分損益律，琵琶與阮是平均律。可見，南北朝、隋唐、五代，都存在三律並用的情況。在現存的許多民間樂種中，也有琴、笙、琵琶、阮等樂器的合奏。因此，這種三律並用就成了中國傳統音樂中存在的一。
明朝中葉，皇族世子朱載堉發明以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數列，具體說來就是：用發音體的長度計算音高，假定黃鐘正律為1尺，求出低八度的音高弦長為2尺，然後將2開12次方得頻率公比數1.059463094，該公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黃鐘正好還原。用這種方法第一次解決了十二律自由旋宮轉調的千古難題。
鋼琴調律
鋼琴調律在朱載堉發表十二平均律理論之後52年，Pere Marin Mersenne在（1636年）其所著《諧聲通論》中發表相似的理論。
德國作曲家巴赫於1722年發表的《諧和音律曲集》（另或譯為《十二平均律曲集》英文：《The 48》），有可能就是為十二平均律的鍵盤樂器所著。
巴赫著十二平均律物理解釋
十二平均律外國名著所有的波（包括聲波、電磁波等等）都有三個最本質的特性：頻率/波長、振幅、相位。對於聲音來說，聲波的頻率（聲學中一般不考慮波長）決定了這個聲音有多“高”，聲波的振幅決定了這個聲音有多“響”，而人耳對於聲波的相位不敏感，所以研究音樂時一般不考慮聲波的相位問題。
一般來說，人耳能聽到的聲波頻率範圍是20Hz（每秒振動20次）到20000Hz（每秒振動20000次）之間。聲波的頻率越大（每秒振動的次數越多），聽起來就越“高”。頻率低於20Hz的叫“次聲波”，高於20000Hz的叫“超音波”。
現代流行歌曲演奏幾乎採用十二平均律
現代流行歌曲演奏幾乎採用十二平均律由於弦樂器是世界各地發展得最早的樂器種類之一，所以這種現象古人早已熟悉。他們自然會想：如果八度音程的2:1的關係在弦樂器上用這么簡單一按中點的方式就能實現，那么試試按其它的位置會怎么樣呢？數學上2:1是最簡單的比例關係了，簡單性僅次於它的就是3:1。那么，我們如果按住弦的1/3點，會怎么樣呢？其結果是弦發出了兩個高一些的音。一個音的頻率是原來的3倍（因為弦長變成了原來的1/3），另一個音是原來的3/2倍（因為弦長變成了原來的2/3）。這兩個音彼此也是八度音程的關係（因為它們彼此的弦長比是2:1）。這樣，在我們要尋找的F-2F的範圍內，出現了第一個重要的頻率，即3/2F。（那個3F的頻率正好處於下一個八度，即2F-4F中的同樣位置。）
接著再試，數學上簡單性僅次於3:1的是4:1，我們試試按弦的1/4點會怎樣？又出現了兩個音。一個音的頻率是原來的4倍（因為弦長變成了原來的1/4），這和原來的音（術語叫“主音”）是兩個八度音程的關係，可以不去管它。另一個音的頻率是主音的4/3倍（因為弦長是原來的3/4）。我們又得到了一個重要的頻率，4/3F。同一根弦，在不同的情況下振動，可以發出很多頻率的聲音。在聽覺上，與主音F最和諧的就是3/2F和4/3F（除了主音的各個八度之外）。這個現象也被很多民族分別發現了。比如最早從數學上研究弦的振動問題的古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前6世紀）。我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂“三分損益律”。具體說來是取一段弦，“三分損一”，即均分弦為三段，舍一留二，便得到3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段後再加一段，便得到4/3F。
得到這兩個頻率之後，是否繼續找1/5點、1/6點等等繼續試下去呢？不行，因為聽覺上這些音與主音的和諧程度遠不及3/2F、4/3F。實際上4/3F已經比3/2F的和諧程度要低不少了。古人於是換了一種方法。與主音F最和諧的3/2F已經找到了，他們轉而找3/2F的3/2F，即與最和諧的那個音最和諧的音，這樣就得到了（3/2）2F即9/4F。可是這已經超出了2F的範圍，進入了下一個八度。沒關係，不是有“等差音高序列”嗎？在下一個八度中的音，在這一個八度中當然有與它等價的一個音，於是把9/4F的頻率減半，便得到了9/8F。
接著把這個過程循環一遍，找3/2的3次方，於是就有了27/8F，這也在下一個八度中，再次頻率減半，得到了27/16F。
就這樣一直循環找下去嗎？不行，因為這樣循環下去會沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環之後，會得到主音的某一個八度，這樣就算是“回到”了主音上，不用繼續找下去了。可是（3/2)^n，只要n是自然數，其結果都不會是整數，更不用說是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。
數學上不可能的事，只能從數學上想辦法。古人的對策就是“取近似值”。他們注意到（3/2)^5≈7.59，和2^3=8很接近，於是決定這個音就是他們要找的最後一個音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音F開始，我們只需把“按3/2比例尋找最和諧音”這個過程循環5次，得到了5個音，加上主音和4/3F，一共是7個音。這就是為什麼音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。
這7個音符的頻率，從小到大分別是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。 如果這裡的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，這7個頻率組成了7聲音階。這7個音都有各自正式的名字，在西方音樂術語中，它們分別被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下屬音（subdominant）、屬音（dominant）、下中音（submediant）、導音（leading tone）。其中和主音關係最密切的是第5個“屬音”so和第4個“下屬音”fa，原因前面已經說過了，因為它們和主音的和諧程度分別是第一高和第二高的。由於這個音律主要是從“屬音”so即3/2F推導出來的，而3/2這個比例在西方音樂術語中叫“純五度”，所以這種音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希臘的畢達哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），東方是《管子》一書的作者（不一定是管仲本人）。我國歷代的各種音律，大部分也都是從“三分損益律”發展出來的，也可以認為它們都是“五度相生律”。
仔細看上面“五度相生律”7聲音階的頻率，可以發現它們彼此的關係很簡單：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 之間的頻率比都是9:8，這個比例被稱為全音（tone）；mi-fa、si-do 之間的頻率比都是256:243，這個比例被稱為半音（semitone）。 “五度相生律”產生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太複雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點或者1/6點，得到的音已經和主音不怎么和諧了，居然出現了81/64和243/128這樣的比例，這不會太好聽吧？於是有人開始對這7個音的頻率做點調整，於是就出現了“純律”（just intonation）。
“純律”的重點是讓各個音儘量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的頻率比儘量簡單。“純律”的發明人是古希臘學者塔壬同（今義大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（東方似乎沒有人獨立提出“純律”的概念。）此人是亞理士多德的學生，約生活在公元前3世紀。他的學說的重點就是要靠耳朵，而不是靠數學來主導音樂。他的書籍留下來的只有殘篇，不過可以證實的是他提出了所謂“自然音階”。
自然音階也有7個音，但和“五度相生律”的7聲音階有不小差別。7個自然音階的頻率分別是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。確實簡單多了吧？也確實好聽多了。這么簡單的比例，就是“純律”。
可以看出“純律”不光用到了3/2的比例，還用到了5/4的比例。新的7個頻率中和原來不同的就是5/4F、5/3（=5/4×4/3）F、15/8（=5/4×3/2）F。
雖然“純律”的7聲音階比“五度相生律”的7聲音階要好聽，數學上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關係變複雜了。原來“五度相生律”7聲音階之間只有“全音”和“半音”2種比例關係，如今出現了3種：9:8（被叫做“大全音”，major tone，就是原來的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minor tone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音階的頻率互相除一下就能得到這個結果。更進一步說，如果比較自然音階中的re和fa，其頻率比是27/32，這也不怎么簡單，也不怎么好聽呢！所以說“純律”對“五度相生律”的修正是不徹底的。事實上，“純律”遠沒有“五度相生律”流行。
對於“五度相生律”的另一種修正是從另一個方向展開的。還記得為什麼要取7個音符嗎？是因為（3/2)^5≈7.59，和2^3=8很接近。可這畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個八度之內，這么小的差距也許沒什麼，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，那么這種近似就顯得不怎么好了。於是人們開始尋找更好的近似值。 通過計算，古人發現（3/2)^12≈129.7，和2^7=128很接近，於是他們把“五度相生律”中“按3/2比例尋找最和諧音”的循環過程重複12次，便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F，如今就有了12個音符。 注意，“規範”音階不是do、re、mi……等7個音符了，而是12個音符。這種經過修改的“五度相生律”推出的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2048F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。
和前面的“五度相生律”的7聲音階對比一下，可以發現原來的7個音都還在，只是多了5個，分別插在它們之間。用正式的音樂術語稱呼原來的7個音符，分別是C、D、E、F、G、A、B。新多出來的5個音符於是被叫做C#（讀做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音階不能用do、re、mi的叫法了，應該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個音符的頻率互相除一下，就會發現它們之間的比例只有兩種：256:243（就是原來的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（這被叫做“變化半音”）。 也就是說，這12個音符幾乎可以說又構成了一個“等差音高序列”。它們之間的“距離”幾乎是相等的。（當然，如果相鄰兩個音符之間的比例只有一種的話，就是嚴格的“距離”相等了。）原來的7聲音階中，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之間都相隔一個“全音”，如今則認為它們之間相隔了兩個“半音”。這也就是“全”、“半”這種叫法的根據。
既然C#被認為是從C“升”了半音得到的，那么C#也可以被認為是從D“降”了半音得到的，所以C#和Db（讀做“降D”）就被認為是等價的。事實上，5個新加入的音符也可以被寫做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
這種12聲音階在音樂界的地位，我只用舉一個例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對應的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對應的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。
從7聲音階發展到12聲音階的做法，在西方和東方都出現得很早。《管子》中實際上已經提出了12聲音階，後來的中國音律也大多是以“五度相生律”的12聲音階為主。畢達哥拉斯學派也有提出這12聲音階的。不過西方要到中世紀晚期才重新發現它們。
能不能把“五度相生律”的12聲音階再往前發展一下呢？可以的。12聲音階的依據就是（3/2）^12≈129.7，和2^7=128很接近，按照這個思路，繼續找接近的值就可以了嘛。
還有人真地找到了，此人就是我國西漢的著名學者京房（77 BC-47 BC）。他發現（3/2）^53≈2.151×10^9，和2^31≈2.147×10^9也很接近，於是提出了一個53音階的新音律。要知道古人並沒有我們的計算器，計算這樣的高次冪問題對他們來說是相當麻煩的。
當然，京房的新律並沒有流行開，原因就是53個音階也太麻煩了吧！開始學音樂的時候要記住這么多音符，誰還會有興趣喔！但是這種努力是值得肯定的，也說明12聲音階也不完美，也確實需要改進。
“五度相生律”的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有兩種（自然半音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多喔？但其實自然半音本身就是256:243≈1.053了。
如果12聲音階是真正的“等差音高序列”的話，每個半音就應該是相等的，各個音階就應該是“等距離”的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個八度“等分”成12份。為什麼這么強調“等分”、“等距離”呢？因為在音樂的發展過程中，人們越來越覺得有“轉調”的必要了。
所謂轉調，其實就是用不同的音高來唱同一個旋律。比方說，如果某一個人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），樂器為了給他伴奏，得在C～高音C之內彈奏旋律；如果另一個人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），樂器得在D～高音D之內彈奏旋律。可是“五度相生律”的12聲音階根本不是“等差音高序列”，人們會覺得C～高音C之內的旋律和D～高音D之內的旋律不一樣。特別是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會很明顯。可以說，如果鋼琴是按“五度相生律”來決定各鍵的音高，那么只要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會一塌糊塗。
這種問題在弦樂器上比較好解決，因為弦樂器的音高是靠手指的按壓來決定的。演奏者可以根據不同的音域、旋律的要求，有意地不在規定的指位上按弦，而是偏移一點按弦，就能解決問題。可是鍵盤樂器（比如鋼琴、管風琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時調整。所以在西方中世紀的音樂理論里，就規定了有些調、有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風琴，為了應付可能出現的各種情況，就預先準備下許多額外的發音管。以至於有的管風琴的發音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規則上的缺陷，導致一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。
問題的根源還是出在近似值上。“五度相生律”所依據的（3/2）^12畢竟和2^7並不完全相等。之所以會出現兩種半音，就是這個近似值造成的。
對“五度相生律”12聲音階的進一步修改，東、西方也大致遵循了相似的路線。比如東晉的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把（3/2）^12和2^7之間的差距分成12份，累加地分散到12個音階上，造成一個等差數列。可惜這只是一種修補工作，並沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把（3/2）^12和2^7之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的3/2的比例關係（這個“純五度”是一個音階中最重要的和諧，即使是在12聲音階中也是如此），這種分散注定不是平均的，最好的結果也是12音中至少有一個“不在調上”。如果把差距全部分散到12個音階上的話，就必須破壞C和G之間的“純五度”，以及C和F之間的4/3比例（術語是“純四度”）。這樣一來，雖然方便了轉調，但代價就是音階再也沒有以前好聽了。因為一個八度之內最和諧的兩個關係――純五度和純四度――都被破壞了。
一直到文藝復興之前，西方音樂界通行的律法叫“平均音調律”（Meantone temperament），就是在保證純五度和純四度儘量不受影響的前提下，把（3/2）^12和2^7之間的差距儘量分配到12個音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協，大家其實都在等待新的音律出現。
終於還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個八度內均分12份嗎？直接就把2:1這個比例關係開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應該是
。如果12音階中第一個音的頻率是F，那么第二個音的頻率就是 F，第三個音就是
F，第四個音是
F，……，第十二個是
F，第十三個就是
F，就是2F，正好是F的八度。 這是“轉調”問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以複製到任何一個其它的音高上，而對旋律不產生影響。西方巴洛克音樂中，復調音樂對於多重聲部的偏愛，有了這個新音律之後，可以說不再有任何障礙了。後來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺。可以說沒有這個新的音律的話，後來古典主義者、浪漫主義者對於各種音樂調性的探索都是不可能的。
這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發明它的是一位中國人，叫朱載堉（yù）。他是明朝的一位皇室後代，生於1536年，逝世於1611年。他用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計算出了十二平均律的正確半音比例，其成就見於所著的《律學新書》一書。很可惜，他的發明，和中國古代其它一些偉大的發明一樣，被淹沒在歷史的塵埃之中了，很少被後人所知。
西方人提出“十二平均律”，大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對於解決轉調問題的迫切要求。當然，反對“十二平均律”的聲音也不少。主要的反對依據就是“十二平均律”破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度並不十分明顯。
頻率
“十二平均律”的12聲音階的頻率（近似值）分別是：F（C）、1.059F（C#/Db）、1.122F（D）、1.189F（D#/Eb）、1.260F（E）、1.335F（F）、1.414F（F#/Gb）、1.498F（G）、1.587F（G#/Ab）、1.682F（A）、1.782F（A#/Bb）、1.888F（B）。
注意，所有的半音都一樣了，都是 ，即1.059。以前的自然半音和變化半音的區別沒有了。 另外，原來“五度相生律”的12音階中，C和G的比例是3/2（即純五度），“十二平均律”的12音階中，C和G的比例是1.498，和純五度所要求的3/2（1.5）非常接近。原來“五度相生律”的12音階中，C和F的比例是4/3（即純四度），“十二平均律”的12音階中，C和F的比例是1.335，和純四度所要求的4/3（1.333）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解決了轉調問題，所以後來“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的統治地位。鋼琴就是按“十二平均律”來確定各鍵音高的。學生們學習的do、re、mi也是按“十二平均律”修改過的7聲音階。如果想聽“五度相生律”或者“純律”的do、re、mi，已經很不容易了。
將八度音等分為十二等分，其數學意義如下：
八度音指的是頻率加倍（即二倍頻率）。因此在八度音中分為十二等分乃是分為十二個等比級數，其結果就是每個音的頻率為前一個音的2開12次方倍（
）。
十二平均律中各音的頻率（0.00001 Hz）
C4: 261.62557 Hz
#C4: 277.18263 Hz
D4: 293.66477 Hz
#D4: 311.12698 Hz
E4: 329.62756 Hz
F4: 349.22823 Hz
#F4: 369.99442 Hz
G4: 391.99544 Hz
#G4: 415.30470 Hz
A4: 440.00000 Hz
#A4: 466.16376 Hz
B4: 493.88330 Hz
C5: 523.25113 Hz
理論上來說，所有樂器的音準只需要儀器來校準。但是實踐證明，十二平均律僅僅在中低頻率適用於人對音階感覺，當頻率較高時（往往大於1500Hz），人感覺上的音階較實際計算的十二平均律偏高，所以樂器的調音師是不可被儀器替代的。為了聲音的協和，實際上鋼琴各個鍵的音高也並不是嚴格按照十二平均律來調音的，在中音區，嚴格按照十二平均律來調音；在高音區，傾向於五度相生律，即半音變小；在低音區，傾向於純律，半音變寬（音程的大小也就是兩個音高的比值，從鋼琴的調音曲線上看，高音區音高偏高，低音區偏低，這是為了使聲音協和，高音半音減小，低音半音增大，分數的分子和分母同時增大或較小，會引起比值減小或增大，引起半音發生變化，從物理意義上說，主要是琴弦兩端的約束造成的）。
正式的交響樂校音的基本a1的頻率往往不是440Hz，為了讓音樂更為明亮，交響樂的基準頻率一般會提高至442Hz左右。
