基本介紹
- 中文名：斐波那契—盧卡斯數列
- 別稱：盧卡斯數列
- 方法：斐波那契—盧卡斯遞推
- 意義：平方數與前後兩項之積的差
定義,性質,黃金陣列,
定義
一般地，符合f(n) = f(n-1)+ f(n-2)，f(n-2)=f(n)- f(n-1)的整數數列f(n)，都是斐波那契—盧卡斯數列。
為區別不同的斐波那契—盧卡斯數列，我們根據前兩項來標定斐波那契—盧卡斯數列，如
斐波那契數列：F[1,1]；
盧卡斯數列：F[1,3]；
數列1，4，5，9.，14，23…：F[1,4]；
特別地，常數數列0，0，0…：F[0,0]，作為下述斐波那契—盧卡斯數列群的單位元素。
斐波那契—盧卡斯數列群
任意兩個或兩個以上斐波那契—盧卡斯數列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數列。
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
F[1,4]n | 1 | 4 | 5 | 9 | 14 | 23 | 37 | 60 | 97 | 157 | … |
F[1,3]n | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | … |
F[1,4]n-F[1,3]n | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | … |
F[1,4]n+F[1,3]n | 2 | 7 | 9 | 16 | 25 | 41 | 66 | 107 | 173 | 280 | … |
性質
一些等式
f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)*1
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+6)=f(n+5)*4
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+10)=f(n+7)*11
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+14)=f(n+9)*29
f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+…+f(n+18)=f(n+11)*76
注意：1，4，11，29，76，…是盧卡斯數列的奇數項。
黃金特徵
每一項的平方數與前後兩項之積的差的絕對值是一個恆值，稱為黃金特徵。
斐波那契數列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=…=1
盧卡斯數列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]數列：|4*4-1*5|=|5*5-4*9|=…=11
F[2，5]數列：|5*5-2*7|=|7*7-5*12|=…=11
F[2，7]數列：|7*7-2*9|=|9*9-7*16|=…=31
斐波那契數列的黃金特徵1最小，也就是前後項之比接近黃金比例最快，我們稱為黃金特徵，黃金特徵1的數列只有斐波那契數列，是獨生數列。盧卡斯數列的黃金特徵是5，也是獨生數列。前兩項互質的獨生數列只有斐波那契數列和盧卡斯數列這兩個數列。而F[1，4]數列和F[2，5]數列的黃金特徵是11，黃金特徵31的數列除了F[2，7]外，還有F[3，8]，其他前兩項互質的斐波那契—盧卡斯數列都是成對出現的，他們都是：
孿生斐波那契—盧卡斯數列
利用f(n-2)= f(n)- f(n-1)，寫出前面的項，如下表：
-5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 黃金特徵 | |
F[1,1] | 5 | -3 | 2 | -1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 1 |
F[1,3] | -11 | 7 | -4 | 3 | -1 | 2 | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 5 |
F[1,4] | -19 | 12 | -7 | 5 | -2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 9 | 14 | 23 | 11 |
F[2,5] | -14 | 9 | -5 | 4 | -1 | 3 | 2 | 5 | 7 | 12 | 19 | 31 | 11 |
我們發現：斐波那契—盧卡斯數列與分數對應：
F[1，1]的正負項絕對值相等，第0項為0，對應於整數。
F[1，3]的正負項絕對值也相等，第0項為2，第1項為1，對應於分數1/2。
而F[1，4]的正項絕對值與F[2，5]的負項絕對值相等，F[2，5]的正項絕對值與F[1，4]的負項絕對值相等，而且，他們的第0項都是3，第1項分別是1和2，所以他們對應互補的分數1/3和2/3，這樣的數列就是孿生斐波那契—盧卡斯數列。每一對互補的分數（如1/4和3/4，1/5和4/5，2/5和3/5，或2/6和4/6等等)都對應一對孿生斐波那契—盧卡斯數列。
黃金陣列
經過對斐波那契—盧卡斯數列和黃金特徵、黃金比例的研究，我把自然數排列為如下的黃金陣列：
1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | … |
4 | 6 | 10 | 16 | 26 | 42 | 68 | … | |||
7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | … | ||||
9 | 15 | 24 | 39 | 63 | … | |||||
12 | 19 | 31 | 50 | 81 | … | |||||
14 | 23 | 37 | 60 | 97 | … | |||||
17 | 28 | 45 | 73 | … | ||||||
20 | 32 | 52 | 84 | … | ||||||
22 | 36 | 58 | 94 | … | ||||||
25 | 40 | 65 | … | |||||||
27 | 44 | 71 | … | |||||||
30 | 49 | 79 | … | |||||||
33 | 53 | 86 | … | |||||||
… |
第一排，斐波那契數列，1，2，3，5，8.…
第二排，最小缺4，4*1.618取整6——4，6，10，16…
第三排，最小缺7，7*1.618取整11——7，11，18，29…
以此類推。
第1列的經驗公式：[(2n-1)(√5+3)/4+0.5]的整數部分。
黃金陣列具有以下性質：
1）各斐波那契—盧卡斯數列都出現一次（常數數列0，0，0…除外）
2）每一個同一列的數，與黃金比例之積，與整數的距離差不多。
每一個數的列數，我們可乘之為該數的黃金階數。
前10個數的黃金階數分別是1，2，3，1，4，2，1，5，1，3。
前10個黃金階數5階或5階以上的數分別是8，13，21，26，34，42，47，55，63，68，他們之間兩兩相差5或8，我們稱之為真金數。
黃金階數為1的數，不是在真金數的兩邊（如8的兩邊7和9），就是在相差8的2個真金數中間（如13和21之間的17）。
