數量曲率

數量曲率(scalar curvature)是里奇曲率的平均。在黎曼幾何中，數量曲率（或Ricci標量）是黎曼流形的最簡單的曲率不變數。對於黎曼流形上的每個點，它分配由該點附近的歧管的固有幾何確定的單個實數。具體來說，標量曲率表示在歐氏空間中，黎曼流形中的小測球的體積與標準球的體積的偏差量。在二維上，數量曲率是高斯曲率的兩倍，並且完全表征了曲面的曲率。然而，在兩個維度上，黎曼流形的曲率涉及多個功能獨立的數量。

基本介紹

• 中文名：數量曲率
• 外文名：scalar curvature
• 領域：黎曼幾何
• 意義：里奇曲率的平均
• 數值：數量曲率是高斯曲率的兩倍
• 對象：黎曼流形

黎曼流形

一黎曼度量的微分流形.設M是n維光滑流形，若在M上給定一個光滑的二階協變張量場g，稱(M，g)為一個n維黎曼流形，g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿足：

1.g是對稱的，即

g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈T_pM，p∈M).

2.g是正定的，即

g(X，X)≥0 (X∈T_pM，p∈M)，

且等號僅在X=0時成立。

簡單地說，黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。

里奇曲率

里奇曲率是截面曲率的一種平均。設(M，g)是黎曼流形，Ric(·，·)是其里奇張量，對任意的非零切向量X∈T_pM，若：

則稱ρ(X)為黎曼流形M在切向量X所決定的方向上的里奇曲率。里奇曲率ρ(X)恰好等於包含X在內的各個二維切子空間上的截面曲率(參見“截面曲率”)的平均值.確切地說，若e₁，e₂，…，e_n-1∈T_pM是與X正交的n-1個彼此正交的單位切向量，則：

其中n=dimM。

曲率張量

由聯絡確定的一個重要張量。設(M，)是仿射聯絡空間，R(X，Y)是曲率運算元，其中X，Y∈Γ(TM).映射X，Y，Z→R(X，Y)Z給出了從Γ(TM)×Γ(TM)×Γ(TM)到Γ(TM)的C(M)線性映射，因此，它在每一點p∈M給出了從T_pM×T_pM×T_pM到T_pM的多線性映射，即它是一個(1，3)型張量場，稱為(M，)上的曲率張量。在局部坐標系(U;x)下，記：

R_ijk就是曲率張量的分量.由定義得到：

其中Γ_ij是聯絡的係數。若(M，g)是黎曼流形，δ是其黎曼聯絡，則能夠定義(M，g)上的4階協變的曲率張量R(X，Y，Z，W)=g(R(X，Y)Z，W)。記：

(0，4)型曲率張量有下列性質：

1. R(X，Y，Z，W)=-R(Y，X，Z，W)

=-R(X，Y，W，Z).

2. R(X，Y，Z，W)=R(Z，W，X，Y).

3. R(X，Y，Z，W)+R(X，Z，W，Y)+R(X，W，Y，Z)=0.

數量曲率的概念

數量曲率(scalar curvature)是里奇曲率的平均。設(M，g)是n維黎曼流形，R(·，·，·，·)是其曲率張量，對於T_pM中的單位正交基{e_i}，若：

則S與單位正交基{e_i}的選取無關，稱S為M在點p的數量曲率.數量曲率S是在點p的各個切方向上的里奇曲率的平均值，即：

若用里奇張量在局部坐標系(U;x)下的分量來表示，則：

意義

在黎曼幾何中，數量曲率（或Ricci標量）是黎曼流形的最簡單的曲率不變數。對於黎曼流形上的每個點，它分配由該點附近的歧管的固有幾何確定的單個實數。具體來說，標量曲率表示在歐氏空間中，黎曼流形中的小測球的體積與標準球的體積的偏差量。在二維上，標量曲率是高斯曲率的兩倍，並且完全表征了曲面的曲率。然而，在兩個維度上，黎曼流形的曲率涉及多個功能獨立的數量。

在廣義相對論中，數量曲率是愛因斯坦 - 希爾伯特動作的拉格朗日密度。在量度變化下，拉格朗日的歐拉 - 拉格朗日方程組成真空愛因斯坦場方程，靜態度量稱為愛因斯坦度量。 n歧管的標量曲率被定義為Ricci張量的軌跡，並且其可以被定義為在某一點處的截面曲率的平均值的n（n-1）倍。

第一眼感覺，尺度至少為3的標量曲率似乎是一個微小的不變數，對歧管的全局幾何形狀幾乎沒有影響，但實際上一些深層定理顯示了數量曲率的力量。一個這樣的結果是Schoen，Yau和Witten的正質量定理。相關結果幾乎完全了解哪些歧管具有正數量曲率的黎曼度量。