簡介
在
黎曼幾何中,
數量曲率(Scalar curvature)或
里奇數量(Ricci scalar)是一個
黎曼流形最簡單的
曲率不變數。對黎曼流形的每一點,數量曲率是由該點附近的內蘊幾何確定的一個
實數。
在 2 維數量曲率完全確定了黎曼流形的曲率;當維數 ≥ 3,曲率比數量曲率含有更多的信息。參見黎曼流形的曲率中完整的討論。
這個跡和度量相關,因為里奇張量是一個 (0,2) 型張量;必須將指標上升得到一個 (1,1) 型張量才能取跡。在局部坐標中我們可以寫成
給了一個坐標系與一個度量張量,數量曲率可以表示為:
不像
黎曼曲率張量或
里奇張量可以對任何仿射聯絡自然地定義,數量曲率只在黎曼幾何存在;其定義與度量密不可分。
傳統記法[編輯]
在使用張量指標記法的作者中,字母R通常表示三種不同的東西:
3.數量曲率R。
這三個由它們的指標數目區分開:黎曼張量有四個指標,里奇張量有兩個指標,里奇數量曲率沒有指標。不使用指標記法的一般將R保留為全黎曼曲率張量的記號。