數學結構

數學結構(mathematical structure)也稱關係結構，簡稱結構，是現代數學的一個基本概念，各種數學對象的統稱。

基本介紹

• 中文名：數學結構
• 外文名：mathematical structure
• 又名：關係結構
• 套用學科：數學
• 定義：各種數學對象的統稱
• 常見結構：測度，代數結構，拓撲

歷史

在1939年，法國的筆名是尼古拉斯·布爾巴基（Nicolas Bourbaki），它將結構作為數學的根源。 他們首先提到他們在“集體”的理論的集合，並將其擴展到1957年版的第四章。他們確定了三個母體結構：代數，拓撲和秩序。

定義

在數學中，一個集合上的結構，或者更一般的講類型，是由附加在該集合上的數學對象所組成，它們使得這個集合更易操作或賦予它們特殊的意義。

常見的結構包括測度，代數結構，拓撲，度量結構（幾何），序，和等價關係等等。

有時候，一個集契約時有幾種結構；這使得可研究的屬性更豐富。例如，序可以導出一種拓撲。又如，如果一個集合有個拓撲並是一個群，而且這兩個結構滿足一定關係，則該集合成為一個拓撲群。

保留結構的集合之間的映射在許多數學領域是特別感興趣的。比如保持代數結構的同態；保持拓撲結構的同胚；和差異結構保留差異結構。

例子

實數集有幾個標準結構：

• 序：任意兩個數都可以比較大小，即全序。
• 代數結構：乘法和加法使其成為一個域。
• 測度：實直線上的區間有長度。
• 幾何：它有一個度量，並且是平直的。
• 拓撲：數和另外一個數有遠近關係。

這些關係互相關聯：

• 序和度量分別導出它的拓撲。
• 序和代數結構使它成為有序域。
• 代數結構和拓撲使它成為李群（一種拓撲群）。

分類

它是對於各種數學對象，例如，有序集、線性空間、群、環、拓撲空間、流形等，用集合和關係的語言給出的統一形式.結構由若干集合，定義在集合上或集合間的一些關係，以及一組作為條件的公理組成.隨著數學的發展，不斷出現許多新的數學分支，這些分支有其各自的研究對象，獨特的方法，獨自的語言.另一方面，數學不同領域的方法和思想的互相滲透，建立了現代數學的共同邏輯基礎(數理邏輯)、共同的基本概念(集合)和共同的方法(公理化方法).法國布爾巴基學派採用全局觀點，著重分析各個數學分支之間的結構差異和內在聯繫，他們認為數學的基本結構有三種，稱為母結構：

1.代數結構：由集合及其上的運算組成，如群、環、域、線性空間等。

2.序結構：由集合及其上的序關係組成，如偏序集、全序集、良序集。

3.拓撲結構：由集合及其上的拓撲組成，如拓撲空間、度量空間、緊緻集、列緊空間等。

通過以上三種母結構的變化、複合、交叉形成各種數學分支。

發展

中國日報網環球線上訊息：據英國《泰晤士報》報導，18名世界頂級數學家憑藉他們不懈的努力，歷時四年，完成了世界上最複雜的數學結構之一“E8”的計算過程。如果在紙上列出整個計算過程所產生的數據，其所需用紙面積可以覆蓋整個曼哈頓。