收斂級數

收斂級數（convergent series）是柯西於1821年引進的，它是指部分和序列的極限存在的級數。收斂級數分條件收斂級數和絕對收斂級數兩大類，其性質與有限和（有限項相加）相比有本質的差別，例如交換律和結合律對它不一定成立。收斂級數的基本性質主要有：級數的每一項同乘一個不為零的常數後，它的收斂性不變；兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之後仍為收斂級數；在級數前面加上有限項，不會改變級數的收斂性；原級數收斂，對此級數的項任意加括弧後所得的級數依然收斂；級數收斂的必要條件為級數通項的極限為0。

基本介紹

• 中文名：收斂級數
• 外文名：Convergent series
• 提出者：柯西
• 提出時間：1821年
• 分類：收斂級數和絕對收斂級數
• 必要條件：通項的極限為0

預備知識

數項級數的定義

給定一個數列 ，對它的各項依次用“+”號連線起來的表達式 “ ” 稱為數項級數，或稱為無窮級數，也可以簡稱為級數，其中 稱為數項級數的通項。

上述數項級數常寫作： ，或者簡單記作 。

數項級數的前n項和

數項級數的前 n 項和記作 ，且有 。

部分和數列

稱數列 ，即數列 為數項級數 的部分和數列。

定義

若數項級數 的部分和數列 收斂於 （即 ），則稱數項級數 收斂，即 為收斂級數，且稱 為數項級數 的和，記作 。

收斂級數分條件收斂級數和絕對收斂級數兩大類，其性質與有限和（有限項相加）相比有本質的差別，例如交換律和結合律對它不一定成立，收斂級數概念是柯西於1821年引進的。

基本性質

性質1

設 k 為常數，如果級數 收斂於 ，則級數 也收斂，且收斂於 。

證明：設級數 和 的部分和分別為 ，

則有 ，

於是 ，這就表明級數 也收斂，且收斂於 。

註：由關係式 可知，如果數列 沒有極限且 ，那么 也沒有極限。由此我們得到結論：級數的每一項同乘一個不為零的常數後，它的收斂性不變。

性質2

如果級數 、 分別收斂於 ，則級數 也收斂，且收斂到 。

證明：設級數 與 的部分和分別為 ，

則級數 的部分和為 ，

於是 ，這就表明了級數 收斂，且收斂於 。

注意：性質2說明，兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之後仍為收斂級數。

性質3

在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。

證明：我們只需證明“在級數的前面部分去掉、加上有限項，不會改變級數的收斂性”，因為其他情形（即在級數中去掉、加上或改變有限項的情形）都可以看成在級數的前面部分先去掉有限項，然後再加上有限項的結果。

以去掉k項為例，設級數為 ，

去掉前 k 項，得到新的級數 ，

記原級數前 k+n 項的和為 ，前 k 項和為 ，去掉前 k 項得到的新級數的前 n 項和為 ，

則有 。

易得當 時， 與 同時有極限，或者同時沒有極限，

即級數 與 同時收斂或同時發散。

類似的，可以證明在級數前面加上有限項，不會改變級數的收斂性。

性質4

若級數 收斂，則對此級數的項任意加括弧後所得的級數

仍然收斂，且其和不變。

證明：設級數 的前 n 項部分和 ，加括弧後所成的級數的前 k 項的和為 ，則有：

，

，

...

，

可見，數列是數列的一個子數列。由數列的收斂性以及收斂子列與其子列的關係可知：數列必定收斂，且有。這說明了加括弧後所成的級數收斂，且其和不變。

注意：如果加括弧後所成的級數發散，則原級數也發散。

性質5

如果級數收斂，則必有。

級數收斂性

等比級數（幾何級數）

等比級數 ：

（1）當 時，收斂，且收斂於；

（2）當時，發散。

p級數

p級數：

（1）當 p>1 時，收斂；

（2）當 p ≤1時，發散。