擴張映射

擴張映射是撒布(Shub, M.)在1969年最先研究得到的一類結構穩定的半動力系統。擴張映射是結構穩定的，並且具有有理的夸函式。因此，擴張映射是對微分同胚理論研究的推廣。在二維緊曲面中，只有環面和克萊因瓶才可以具有擴張映射。

基本介紹

• 中文名：擴張映射
• 外文名：expanding map
• 適用範圍：數理科學

定義

設f為閉流形M到自身的一個可微映射。如果在 f 的導運算元作用下，所有向量的長度都變長，即存在 使得對所有的非零向量 u 都有 ,則稱 f 是流形 M 上的一個擴張映射。與阿諾索夫微分同胚一樣，擴張映射也是結構穩定的；而且二次可微的擴張映射存在唯一的 SRB 測度。

擴張映射原理

定理

定理1

（擴張映射原理）設F是完備度量空間上的擴張映射，則F在X中有唯一的不動點。

推論1 設函式y=f(x)的導數在實數集R上，滿足 ，則f在R中有不動點。

推論2 設X完備度量空間，T:X→X，若存在常數L(L≥1)及正整數n₀，使對任何x，y∈X，都有 ，則T存在唯一的不動點。

定理2

設D是完備度量空間(X，d)上的一個非空閉子集。F:D→F(D) 是擴張映射且D⊂F(D) ，則F在D中有唯一的不動點。

推論 設函式 y=f(x) 的導數在有限閉區間 I 上滿足 ，且 I⊂f( I ) ，則f在I中有不動點。

定理3

對數列{x𝗇}，若存在常數L>1，使對一切n∈N，有，則{x𝗇}收斂。

定理4

設 (X，d) 是一完備的度量空間，映射f:X→X是連續滿射，若存在L>1，使得

成立，( k為某個正整數) ，則 f 在 X 中有一不動點。

套用

(一) 求方程解的存在性；

(二) 求數列極限 ；

(三) 判定函式不動點。