拉格朗日問題

從數學意義上，最優控制過程可分為三類：拉格朗日問題、麥耶爾問題和波爾扎問題。

如果已知系統的狀態方程與初始狀態，要求最優控制u(t)，使得相應的積分型指標為極小，這樣的最優控制問題叫做拉格朗日問題。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日問題
• 外文名：Lagrange problem
• 目標函式：積分型指標
• 相關定義：麥耶爾問題、波爾扎問題
• 本質：一種最優控制問題
• 套用領域：最優控制

定義

我們知道最優控制理論是泛函求解極值問題。泛函三種典型問題分別為：拉格朗日問題、麥耶爾問題和波爾扎問題。

拉格朗日問題(Lagrange problem)的具體表述如下：

給定狀態方程

與初始條件

泛函取以下形式

其中 為 維狀態向量， 為 維控制向量， 是 的連續函式。

拉格朗日問題要求從可供選擇的函式 中確定出一個 ，在上述狀態方程約束和初始條件下使泛函 取極小值。

麥耶爾問題

給定上述狀態方程和初始條件，及以下的終端條件

要求的系統目標函式泛函為：

麥耶爾問題要求從可供選擇的函式確定出一個 ，在上述狀態方程約束和初始條件下使泛函取值極小。

特別地，當

時，這就是最速控制問題。即以最短時間將系統的狀態從初始點

控制轉移到指定的終端式

波爾扎問題

給定一組微分方程式

和初始條件式

及某些終端條件式

這與麥耶爾問題是一樣的。要求的系統目標函式泛函為：

波爾扎問題要求從可供選擇的函式 中確定出一個 ，在滿足約束條件、初始條件和終端條件下，使泛函 取極小值。

泛函三種典型問題對比

從上述三個問題的陳述中可以看出，它們的主要區別在於目標函式泛函不同。拉格朗日問題是一個積分指標，麥耶爾問題是一個終端時刻某一函式的取值，而波爾扎問題的目標函式泛函是前述兩者之和，所以它更具一般性。但是，這三類問題之間又可以互相轉化、所以實際上只是一類問題。