拉格朗日元法是一種分析非線性大變形問題的數值方法，這種方法依然遵循連續介質的假設，利用差分格式，按時步積分求解，隨著構形的變化不斷更新坐標，允許介質有大的變形。
拉格朗日元法的名字淵源於流體力學中跟蹤質團運動的一種方法，實際上是連續介質力學中對運動的物質描述方法，在非線性連續體力學中叫拖帶坐標系或嵌含坐標系方法。
基本介紹
- 中文名：拉格朗日元法
- 外文名：lagrangian element method
- 定義：分析非線性大變形問題的數值方法
- 套用學科：力學術語
- 範疇：數理科學
- 涉及：非線性問題
概念,拉格朗日元法的格線劃分,基本原理,
概念
非線性問題可分為材料非線性問題和幾何非線性問題：一般的有限元法可以用來解決材料非線性問題，但仍囿於小變形的假設，即勿略了因變形造成幾何尺寸的改變所導致應力的微小變化，且略去應變的二次冪，對於幾何大變形問題，雖然原則上可以將荷載分成若干級，在每一級荷載施加後算出結構的應力、應變和新的位置。以此為基礎再計算出結構中各個單元的剛度矩陣，組成總剛度矩陣後再加下一級荷載依次求解。可見，其計算工作量是相當繁複的。
岩土介質是一種為眾多節理裂縫等弱面所切割的地質體。岩土力學的問題往往牽涉到非線性大變形的問題。例如，地下巷道中的底問題，底賺使巷道的斷面縮小，影響走車和通風，需要經常拉底，有時累計拉底的岩石體積可以充滿整個巷道而有餘。象這樣的問題現在通用的有限元法和邊界元法都無能為力，只能求助於拉格朗日元法。拉格朗日元法正是這樣一種分析非線性大變形問題的數值方法，這種方法依然遵循連續介質的假設，利用差分格式，按時步積分求解，隨著構形的變化不斷更新坐標，允許介質有大的變形。
拉格朗日元法的名字淵源於流體力學中跟蹤質團運動的一種方法，實際上是連續介質力學中對運動的物質描述方法，在非線性連續體力學中叫拖帶坐標系或嵌含坐標系方法。
拉格朗日元法的格線劃分
拉格朗日元法用差分方法求解，因此首先要分成格線，物理格線（圖1）影射在數學格線（圖2)上，這樣數學格線上的某個編號為
，
的結點就與物理格線上相應結點的坐標
，
相對應。也可以將數學格線想像為一張橡皮做的網，拉扯以後可以變為物理格線的形狀。
圖1
圖2
圖3分成的格線只要有序也可以具有不規則的形狀，圖3所示為在斷層一側的巷道周圍格線劃分的示例。格線基本上是四邊形的，但在邊界等不規則的地方也可以用三角形格線來擬合。
基本原理
先舉一個一維桿的例子。假定桿為彈性，側面不受限制，兩端受拉，桿的密度為
，彈性模量為
，其本構關係為
，桿的運動平衡方程為
。
圖4一維問題的格線劃分如圖4所示，結點順序編號，結點之間區域（或可稱格線、單元)的編號從其左側的結點開始編號。我們約定，凡張量（例如應力）和純量（例如密度)定義在格線中，凡矢量（例如速度)定義在結點上。
差分方程就其求解的數值方法而言可以分為兩大類：一類是隱式方法，另一類是顯式方法。隱式方法要解一個線性聯立方程組，所有的未知數一次求解，隱式方法需要存儲一個大的矩陣，對於非線性問題還要多次分段線性化後用增量法求解。顯式法則不用解方程組，因為等式右邊的值均為已知，可將右邊的表達式求值後賦值給左邊的未知數就可以了，這個過程也就是同時更新所有的變數。某一時步時的所有“老”的變數為其後一時步的“新”的變數所代替，而時間則又前進了一步。所以，顯式法可以隨著時間的推移跟蹤運動的發展。顯式法的缺點是時步的大小要選擇恰當，過大了會使解不穩定，過小則疊代次數太多，需要的機時長。拉格朗日元法系採用顯式解法。
時步選擇的原則是要使計算的速度大於縱波傳播的速度，也就是從物理上講，在一個時步之內，“信息”不能由一個單元傳到另一個單元。
